旋轉內接懸臂梁的剛柔耦合動力學特性分析*

方建士 章定國

1)(南京理工大學理學院,南京 210094)

2)(南京工程學院材料工程學院,南京 211167)

(2012年4月13日收到;2012年9月16日收到修改稿)

1 引言

旋轉懸臂柔性梁的動力學建模和振動分析在航天器、機器人和高速旋轉機構等工程技術領域具有獨特的理論和應用價值,很多工程實例可以理想化為旋轉懸臂梁,比如渦輪葉片、直升機機翼和衛星天線等.建立大范圍旋轉懸臂梁的動力學模型需要考慮結構柔性在運動中所產生的重大影響,傳統的柔性多體系統動力學理論和方法由于無法捕捉到大范圍運動引起的動力剛化項,造成仿真結果的偏差甚至錯誤[1].1987年,Kane等[1]指出,傳統零次近似模型在計算高速旋轉機構的動力學問題時會產生錯誤,并提出“動力剛化”的概念.隨后,眾多學者對動力剛化問題進行了大量研究,并在此基礎上對柔性體變形和其大位移運動之間的剛柔耦合問題開展了廣泛而深入的研究[2,3],并逐漸形成了以計入橫向變形引起的縱向縮短的二階耦合變形量為主要方法的剛柔耦合動力學建模方法.這些動力學方程在結構上都比傳統的零次耦合模型增加了由二階耦合變形量引入的關于廣義坐標的一階或更高階的量,假如忽略更高階量而保留一階量的話,這樣的模型就成為一次近似耦合模型.理論分析和實驗都證明了一次近似耦合模型的合理性.深入研究表明,大范圍運動柔性梁還存在著“動力柔化”現象[4,5].但是,無論對于動力剛化還是對于動力柔化的研究大多數僅局限于旋轉外接懸臂梁系統.

旋轉懸臂柔性梁的振動特性一直以來也是眾多學者所感興趣的研究方向,Southwell和Cough[6]利用Rayleigh能量理論對旋轉運動梁的固有頻率進行研究,推導出著名的Southwell方程.隨后,Putter和Manor[7]在Southwell方程的基礎上利用有限元并考慮剪力、旋轉慣性等對梁的固有頻率和振型進行研究;Yoo和Shin[8]采用達朗貝爾原理和假設模態法研究旋轉懸臂梁固有頻率和振型的數值解;和興鎖等[9]應用Lagrange方程研究了考慮剪切效應且做大范圍旋轉運動的Timoshenko梁的固有頻率;陳思佳和章定國[10]研究了剛體-變截面梁系統的動力學特性.但在高層次剛柔耦合理論基礎上對旋轉內接懸臂梁的動力學特性的研究目前尚少見.

本文對固結在旋轉剛環上內接柔性梁的剛柔耦合動力學建模及其動力學特性進行研究,在精確描述柔性梁非線性變形的基礎上,利用Hamilton變分原理和假設模態法,在計入柔性梁由于橫向變形而引起的軸向變形的二階耦合量的條件下,推導出系統的一次近似耦合動力學方程,進而給出一次近似簡化模型.基于一次近似簡化模型,分析在非慣性系下內接懸臂梁的動力學響應,并與外接懸臂梁進行比較;研究了旋轉內接懸臂梁的穩定性;分析了內接懸臂梁失穩臨界轉速的收斂性,得出相關結論.

2 柔性懸臂梁的變形描述

本文采用等截面的Euler-Bernoulli梁模型,做旋轉運動的平面柔性梁如圖1所示.圖1中O-X Y為慣性坐標系;o-xy為浮動坐標系,固連在未變形的柔性梁上,r0為浮動坐標系相對于慣性坐標系的矢徑,r1為未變形時梁軸線上任意一點p0點在浮動坐標系下的矢徑,u為p0點變形位移矢量,則p點相對于慣性坐標系的矢徑可寫成

式中A為浮動坐標系相對于慣性坐標系的方向余弦矩陣.將(1)式對時間求導,得在慣性坐標系下p點的速度矢量

式中,

設x為 p0點在浮動坐標系下的縱向坐標,則有r1=(x 0)T.根據彈性梁的變形理論,考慮完全幾何非線性變形,梁上p點的變形位移u為

式中,w1(x,t)為軸線的軸向伸長量,w2(x,t)為橫向彎曲變形量,是橫向彎曲引起的縱向變形量,稱為耦合變形量.該耦合變形量在傳統的零次近似方法中是不考慮的,但在某些條件下它會對系統的動力學特性產生重要影響.

圖1 做大范圍運動的柔性梁

采用假設模態法來描述柔性梁的變形,表示為

其中,?1(x)和?2(x)分別為梁的軸向和橫向振動模態函數行向量,B1(t)和B2(t)分別為梁的軸向和橫向振動模態坐標列陣.

3 旋轉內接懸臂梁系統剛柔耦合動力學方程

考慮如圖2所示的旋轉剛環內接懸臂梁的剛柔耦合系統,剛環上受到外驅動力矩M(t)的作用,過剛環圓心建立慣性坐標系O-X Y,在柔性梁上建立浮動坐標系o-xy,其中o為柔性梁和剛環的連接處,x軸沿未變形時梁的軸線通過轉軸O.剛環繞轉軸O的轉動慣量為Joh,半徑為a,均質柔性梁的長度為L,單位長度質量為ρA0,梁的抗彎剛度為E I,拉壓剛度為E A0.

圖2 旋轉內接懸臂梁系統

上述旋轉剛環內接柔性梁系統的動能可寫成

由于考慮系統在水平面內運動,所以系統勢能只有彈性變形能,可寫成

根據Hamilton變分原理

其中δT和δV分別為系統動能和勢能的變分,δWF為作用在剛環上的外驅動力矩M(t)所做虛功,可表示為δWF=M(t)δθ.

(1)式中的r0=(?a cosθ ?a sinθ)T.在(5)式展開時,考慮到變形耦合項wc是橫向彎曲變形量w2的二階小量,故可以做適當簡化,舍去與wc相關的一些高階量.根據(7)式,可得系統的一次近似耦合動力學方程

其中

需要指出的是,在傳統零次近似模型中由于直接套用了結構動力學的小變形假設,認為縱向和橫向變形間沒有耦合,因此在所建立的動力學方程中并不包含式(9),(13)和(14)式中的下劃線項.(13)式中的下劃線項稱為附加剛度項,傳統的零次近似模型在處理大范圍運動為高速時產生失效正是由于忽略了附加剛度項所導致的.

(9)—(15)式中相關的部分常值系數和矩陣為

其中 Ri∈ R1×n,S ∈ Rn×n,K 2∈ Rn×n.

在研究非慣性系下的動力學問題時,系統大范圍運動往往是已知的,不用求解.這種情況下的柔性梁動力學模型可由(8)式忽略大范圍運動方程而得到.忽略(8)式的第一行和第二行,可得內接柔性梁的一次近似簡化模型

若忽略(19)式中的下劃線項,即可轉化為零次近似簡化模型.

4 內接懸臂柔性梁的動力特性分析

由于柔性梁的縱向變形量級比橫向變形小很多,忽略縱向變形不會對橫向變形的動力特性造成很大影響.由(19)式可得一次近似簡化模型下的柔性梁的橫向自由振動微分方程

對(20)式進行無量綱化處理,引入無量綱變量和參數

其中T?=(ρA0L4/E I)1/2,δ稱為系統徑長比.(20)式可寫成

式中

其中

引入關于無量綱時間量?的調和函數

其中j為虛數單位,ω為無量綱固有頻率,Θ為常數列陣

將(25)式代入(21)式可得特征值問題

其中M和KC為對稱矩陣,表示為

4.1 內接懸臂梁的動力柔化現象

眾多研究表明,旋轉外接懸臂柔性梁的一次近似簡化模型存在“動力剛化”效應[2?4],即采用該模型進行動力學仿真,其結果不會出現發散,而且隨著角速度增大,其穩態響應頻率也增大.為了研究旋轉內接懸臂梁的動力學特性,取圖2所示旋轉剛環內接懸臂梁旋轉系統的參數:懸臂梁長度L=10 m,線密度ρA0=1.2 kg/m,截面抗彎剛度E I=14000 N·m2,E A0=686000 Pa·m2. 假定旋轉剛環由靜止開始做大范圍運動,大范圍運動角速度規律取為

其中,T=15 s,柔性梁在T=15 s時達到角速度ω0;ω0的取值為ω0==γ/T?.

圖3為系統徑長比δ=0.2,模態截斷數Nf=3時,內接懸臂梁與外接懸臂梁的一次近似簡化模型在不同角速度時梁末端橫向變形位移uy的響應時程.從圖3(a)中可以看出,不論角速度多大,外接懸臂梁的一次近似簡化模型仿真結果始終收斂;而在角速度不大的情況下(即γ=9),內接懸臂梁的一次近似簡化模型仿真結果已經發散.圖3(b)為15 s≤t≤20 s時間域內的響應放大圖.盡管在γ=8時,內接懸臂梁的一次近似簡化模型仿真結果仍然收斂,但是其末端的響應較外接懸臂梁在相同角速度時的響應急劇增大,穩態響應頻率降低,這表明此時的內接懸臂梁已經出現動力柔化現象.圖3(b)中的小圖為虛線方框部分的放大圖,從中可以發現,外接懸臂梁的穩態響應頻率隨著角速度的增大而增大,這表明外接懸臂梁完全剛化.

圖3 一次近似簡化模型的梁末端y方向的變形位移 (a)全局響應時程;(b)15 s≤t≤20 s時間域內的響應放大圖

4.2 內接懸臂梁的穩定性分析

文獻[8,9]對旋轉外接懸臂梁的固有頻率進行了分析,發現外接懸臂梁橫向彎曲振動的第一階固有頻率始終隨角速度的增大而增大,從動力學響應角度可以解釋為外接懸臂梁的橫向彎曲振動始終穩定,即存在顯著的動力剛化效應.求解(26)式所示的特征值問題,即可對內接懸臂梁一次近似簡化模型進行頻率分析.在實際系統中無論是對其建模還是控制,第一階頻率和振型都是最重要的,梁的橫向彎曲振動模態只取一階(即Nf=1),則梁的橫向彎曲振動頻率可表示為

其中,KC=γ2(?2)+2,M=22.此時,KC∈R1,M∈R1.若?2＞0,則梁的橫向彎曲振動頻率將隨角速度的增大而增大,表明此種情況下的內接懸臂梁的橫向彎曲振動始終穩定.若?2＜0,則梁的橫向彎曲振動頻率將隨角速度的增大而減小,內接懸臂梁的橫向彎曲振動處于有條件穩定.以上兩種情況可以說明旋轉內接懸臂梁的一次近似簡化模型既可以存在動力剛化現象,也可以存在動力柔化現象.根據?2＜0,可解得內接懸臂梁的橫向彎曲振動失穩的臨界徑長比δc為

當系統徑長比δ＜δc時,內接懸臂梁對于任何轉速無條件穩定;當系統徑長比δ＞δc時,內接懸臂梁處于有條件穩定,而穩定的條件為進一步表示為

文獻[11]利用絕對坐標法給出一階模態下內接懸臂梁失穩的臨界徑長比δc=1/9,當δ＞1/9時,內接懸臂梁處于有條件穩定,即當γ2＜λ=72/(9δ?1),系統仍然穩定.需要指出的是,應用本文方法所得出的臨界徑長比與文獻[11]的臨界徑長比在大小上稍有差別,這種差別主要源于兩者動力學建模方法上的差異,但兩文都得出了在某個臨界徑長比下動力學方程解出現分岔的結論.圖4為Nf=1時,臨界參數λ隨徑長比δ的變化曲線.由圖4可以看出,臨界參數λ隨徑長比δ的增大而減小,且本文所得結果與文獻[11]的結果符合得較好.當δ=1時,本文的臨界參數λ=8.97424,而文獻[11]的臨界參數λ=9.然而,采用一階模態計算所得內接懸臂梁失穩的臨界轉速的計算精度值得懷疑.

圖4 臨界參數λ的變化曲線

4.3 內接懸臂梁失穩臨界轉速的收斂性分析

通常情況下,內接懸臂梁的系統徑長比δ＞δc,因此考慮內接懸臂梁失穩的臨界轉速無疑更具現實意義.當系統徑長比δ=0.2＞δc,內接懸臂梁處于有條件穩定,由(31)式計算可得,其失穩的臨界轉速γc=10.114815.圖5為δ=0.2,模態截斷數分別取1,2,3和10時,內接懸臂梁橫向彎曲振動第一階無量綱固有頻率ω隨角速度γ的變化軌跡.由圖5可看出,四種情況的第一階無量綱固有頻率都隨無量綱角速度γ的增大而減小,且γ達到一定值時,第一階無量綱固有頻率都將降為零,其中Nf=1時,第一階無量綱固有頻率變為零所對應的無量綱角速度γ≈10.115,而此角速度與(31)式計算所得的失穩臨界轉速γc正好符合.圖6為δ=0.2,模態截斷數Nf=1時,內接懸臂梁的一次近似簡化模型在不同角速度時梁末端y方向變形位移的響應時程.由圖6可看出,當γ=10.115時,內接懸臂梁末端橫向變形位移的仿真結果已經發散,這說明內接懸臂梁失穩的臨界轉速就等于第一階無量綱固有頻率由正變為零時的角速度.

圖5 橫向彎曲振動第一階固有頻率曲線

表1 內接懸臂梁失穩的臨界轉速

圖6 梁末端y方向的變形位移

從圖5中還可以發現,隨著所取模態截斷數的增加,內接懸臂梁失穩的臨界轉速不斷減小且收斂,而且收斂速度很快.表1為內接懸臂梁失穩的臨界轉速與模態截斷數之間的收斂關系.由表1可以看出,隨著模態截斷數的增加,不同系統徑長比的內接懸臂梁失穩的臨界轉速都在降低.當δ=0.2時,Nf由1變為2時,兩者臨界轉速相差約14%,而Nf由2變為3時,兩者臨界轉速相差已只有1.6%,可見收斂速度很快.同時還可以發現,隨著系統徑長比的增大,內接懸臂梁失穩的臨界轉速對模態截斷數的依賴性降低.

5 結論

本文以旋轉剛環和內接懸臂柔性梁組成的剛柔耦合系統為對象,推導出系統的剛柔耦合一次近似耦合動力學方程,并對其動力學特性進行研究.研究發現,與外接懸臂梁的一次近似簡化模型存在完全動力剛化效應不同,內接懸臂梁的一次近似簡化模型既可以存在動力剛化效應,又可以存在動力柔化效應,這主要依賴于系統的徑長比;當系統徑長比小于某個臨界值時,大位移運動就產生動力剛化效應,而當系統徑長比大于臨界值時,大位移運動就產生動力柔化效應,這表明內接懸臂柔性梁系統動力學存在分岔行為.本文給出了Nf=1時,內接懸臂梁無條件穩定的臨界徑長比δc以及失穩的臨界轉速的計算方法;若第一階無量綱固有頻率隨轉速增大而減小,則該內接懸臂梁處于有條件穩定,且失穩的臨界轉速γc等于第一階無量綱固有頻率由正變為零時的角速度;隨著模態截斷數的增加,內接懸臂梁失穩的臨界轉速減小且有收斂值.

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