帶有Stoodley變利息風險模型最終破產概率上界的研究

王芝皓, 吳黎軍

(新疆大學 數學與系統科學學院, 新疆 烏魯木齊 830046)

在經典的風險模型[1]中,保險人在時刻t的盈余過程可表示為

U(t)=u+ct-S(t)

(1)

Ψ(u)≤e-Ru

(2)

這是我們熟知的Lundberg不等式[1],其中R稱為調節系數.

在(1)式的基礎上考慮帶有常利息力δ的現值風險模型[2],記Uδ(t)表示帶有常利息力在t時刻的盈余過程,且

(3)

其中,年金在0時刻的現值

(4)

本文我們將引入帶有變利息力風險模型.記δt為與時間t有關的變利息力,并且滿足Stoodley模型[9],其現值盈余過程可表示為

(5)

本文對帶有這種特殊變利息現值風險模型及其破產概率上界的問題進行研究,并給出Lundberg型指數界.

1 帶有Stoodley利息力的風險模型

假定利息力δt是關于t的函數,并滿足Stoodley模型

(6)

其中p,s,r為屬于實數的3個常數.

從文獻[8]中可知δt是關于時間t的Logistic函數,隨時間變化呈現出遞減的曲線.下面將討論帶有此變利息力的盈余過程.

引理1變利息力δt滿足(6)式時,t時刻的貼現率為

(7)

證明由利息理論的知識我們有t時刻的貼現率

定理1當利息力δt滿足引理1,現值盈余過程可表示為

(8)

其中Ui(i=p+s,p)為帶有常利息力i的盈余過程.

證明由引理1可知，(5)式中

(9)

(10)

所以有

由定理1可知,我們已將帶有Stoodley變利息力的盈余過程推導成了兩個帶有常利息力盈余過程加權和的形式,下面我們給出不同常利率破產概率大小的關系.

2 不同常利率風險模型破產概率間的比較

前面介紹了經濟因子的相關概念,根據文獻[3],我們可定義帶有一般經濟因子的現值索賠過程.

(11)

(12)

(13)

兩邊都乘以f1(t)/f2(t)并從0到t積分得

同理可證

定理2令fi(t)(i=1,2)是兩個不同的經濟因子,破產時刻

Ψf1(u)≤Ψf2(u)

(14)

證明由引理2,對(12)式分部積分得

(15)

令經濟因子為(7)式,滿足風險模型(5)式的破產概率記為Ψδt(u),可由如下定理敘述破產概率的界.

定理3令Ψp+s(u),Ψp(u)分別表示含有常利息力p+s和p的風險模型的破產概率,與Ψδt(u)有如下不等式成立

Ψp+s(u)≤Ψst(u)≤Ψp(u)

(16)

證明由上述的內容及引理1可知,各個風險模型的折現因子分別為

由定理2,定理得證.

3 最終破產概率的上界

(3)式與經典風險模型(1)式不同,由于加入了利率,因此不再是平穩增量過程[10],從而對任意的r>0,隨機過程exp{-rUδ(t)}不再是鞅過程,但我們仍可以找到一個常數r*>0,使得exp{-r*Uδ(t)}為一個上鞅,從而可得到最終破產概率的上界.假設索賠額X的矩母函數存在,記為MX(r)=E[erX],并定義函數h(r)=MX(r)-1,顯然,h(0)=0.

定義2假設安全負荷為θ,單位時間保費收入c=(1+θ)λE[X],稱關于r的方程

H(r)=λh(r)-cr=0

(17)

的唯一正解r*為X的調節系數.

(18)

證明參見文獻[7].

定理4假設安全負荷滿足定義2的條件,則隨機過程exp{-rUδ(t)}為關于σ-代數流F的上鞅,即對任意的0≤s≤t,有

E[exp{-r*Uδ(t)}|Fs]≤exp{-r*Uδ(s)}

(19)

證明Uδ(t)有獨立增量性(參見文獻[10])根據引理3,有

E[exp{-r*Uδ(t)}|Fs]=E[exp{-

r*Uδ(s)}exp{-r*[Uδ(t)-Uδ(s)]}|Fs]=

exp{-r*Uδ(s)}E[exp{-r*[Uδ(t)-Uδ(s)]}]

又Uδ(t)-Uδ(s)與e-δs[Uδ(t-s)-Uδ(0)]有相同的分布(見文獻[10]),根據引理3有

E[exp{-r*[Uδ(t)-Uδ(s)]}]=

E[exp{-r*e-δsUδ(t-s)}]=

再由(9)式可知,當r*e-δu≤*r時,可得H(r*e-δu)≤H(r*),所以

綜上可得

E[exp{-r*Uδ(t)}|Fs]≤exp{-r*Uδ(s)}

定理5設在復合Poisson現值風險過程中,初始資本金為u,單位時間收取的保費為c,折現變利息力δt滿足(6)式,調節系數r*為(17)式的唯一正數解,則破產概率Ψδt(u)滿足如下Lundberg型指數不等式

Ψδt(u)≤e-r*u

(20)

證明在定理1中,現值盈余過程

令Wt=exp{-r*Up(t)},T為Up(t)的破產時刻.由于對任意固定的t,T∧t是有界停時,由引理4可知,Wt是關于σ-代數流F的上鞅,所以WT∧t同樣是上鞅,因此有

E[WT∧t]≤E[W0]=exp{-r*u}

于是有

exp{-r*u}≥E[WT∧t|T

E[WT∧t|T≥t]Pr{T≥t}=

E[WT|T

E[Wt|T≥t]Pr{T≥t}

(21)

注意到當t

Wt=exp{-r*Up(t)}≤1

由單調收斂定理與Lebesgue控制收斂定理,令(21)式t→∞

exp{-r*u}≥E[WT|T<∞]Pr{T<∞}+

E[Wt|T=∞]Pr{T=∞}

(22)

由此可得

Pr{T<∞}≤exp{-r*u}

(23)

再由定理3可得破產概率的上界為

Ψδt(u)≤Ψp(u)=Pr{T<∞}≤

exp{-r*u}

(24)

4 結束語

本文主要考慮了帶有Stoodley變利息力的風險模型,實際中利息力是隨時間變化的,所以帶有變利息力的風險模型比帶有常利率的風險模型更具意義.通過利用鞅方法得到了最終破產概率的指數型上界.結果表明,所得到的指數型上界仍然具有經典的Lundberg指數上界的形式.

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