亞純p-葉函數的一個新子類

周 茜

(江蘇食品職業技術學院 基礎教學部, 江蘇 淮安 223003)

1 理論基礎

定義1[1]設∑p表示形如

p∈N={1,2,3,…}

(1)

且在U0={z∶z∈c,0<|z|<1}=U(〗0}內解析的p-葉函數的全體組成的函數類.

定義2[2]設fj(z)∈∑p(j=1,2)表示為

且

(f2*f1)(z)

則稱(f1*f2)(z)為f1(z)和f2(z)的Hadamard卷積.

定義3[3]設函數φp(a,c;z)為

z∈u0;c?{0,-1,-2,…}

(2)

其中

(b)n=b(b+1)…(b+n-1),n∈N

由函數φp(a,c;z)，可以定義下面一個新的線性算子.

定義4設f∈∑p，定義關于∑p的線性算子Lp(a,c)如下：

Lp(a,c)f(z)=φp(a,c;z)*f(z)

(3)

可證得

(4)

z(Lp(a,c)f(z))′=aLp(a+1,c)f(z)-

(a+p)Lp(a,c)f(z)

(5)

由線性算子Lp(a,c)定義一個函數類.

(6)

其中：α,μ為實數且滿足0≤α<1,μ>0；λ∈c,Re{λ}>0;g(z)∈∑p且滿足

0≤δ<1;z∈U

(7)

為了建立主要結論，需以下一些引理.

注意到，當z∈U時，上述級數是絕對收斂的，因此它是單位圓內的解析函數.

其中

Re(c)>Re(b)>0

(8)

2F1(a,b;c;z)=2F1(b,a;c;z)

(9)

(10)

(11)

2 主要結論

定理1設λ∈C,Re{λ}>0,a∈R/{0},f(z)∈∑p滿足以下條件：

Re{(1-λ)(zpLp(a,c)f(z))μ+λzpLp(a+1,

c)f(z)·(zpLp(a,c)f(z))μ-1}>α,

0≤α<1;μ>0;p∈N;z∈U

(12)

則

Re{zpLp(a,c)f(z)}μ>α+(1-α)(2ρ-1)

(13)

其中

(14)

證明設

q(z)=(zpLp(a,c)f(z))μ

(15)

則q(z)在U內解析，且q(0)=1.

由公式(5)的結論可得

(1-λ)(zpLp(a,c)f(z))μ+λzpLp(a+1,

c)f(z)(zpLp(a,c)f(z))μ-1=

故由條件(12)，有

B廠日處理規模為1 800 t/d，設3臺600 t/d垃圾焚燒爐，設計垃圾熱值為7 530 kJ/kg，焚燒爐MCR工況理論煙氣量約82 000 m3/h，煙氣中NOx理論原始值約350 mg/m3。

由引理2可知，

Re{q(z)}>α+(1-α)(2ρ-1)

其中

設Re{λ}=λ1>0，有

利用式(8)～式(11)可得

則定理1得證.

推論1設λ∈R且λ≥1，若f(z)∈∑p滿足

λzpLp(a+1,c)f(z)}>α,

0≤α<1;a∈R/{0};p∈N;z∈U

(16)

則

Re{zpLp(a+1,c)f(z)}>

α+(1-α)(2ρ*-1)(1-λ-1),z∈U

其中

證明利用結論

λzpLp(a+1,c)f(z)=[(1-λ)zpLp(a,

c)f(z)+λzpLp(a+1,c)f(z)]+

(λ-1)zpLp(a,c)f(z)

(17)

即可證得推論1.

定理2設函數f(z),g(z)∈∑p,g(z)滿足條件(7).若

0≤α<1;0≤δ<1;a∈R/{0};z∈U

(18)

則

(19)

且

0≤α<1;0≤δ<1;a∈R/{0};z∈U

(20)

證明設

(21)

則q(z)在U內是解析的，且q(0)=1.

設

(22)

由條件可知,在U內Re{Φ(z)}>δ(0≤δ<1).

通過計算可得

其中

由條件(18)可得

{Ψ(q(z),zq′(z);z∈U)}?Ω=

這就說明,對一切z∈U,有Ψ(ir2,s1)?Ω.

因此,由引理1可得Re{q(z)}>0(z∈U)，式(19)的結論得證.

將式(19),式(20)代入下列等式:

便可證明式(20)，從而定理2得證.

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