具連續(xù)變量的脈沖多時滯差分方程的振動性

葛禮霞， 劉海明， 姬春秋

(牡丹江師范學院 理學院， 黑龍江 牡丹江157012)

差分方程是一個很重要的數學工具，差分方程解的性質的研究不僅在理論上而且在實際應用中都是非常重要的，特別是近年來，隨著管理、生物等自然學科的發(fā)展，在許多領域提出了由差分方程描述的數學模型.具有離散變量的差分方程的解的振動性研究已有許多好的結果[1-3].與此同時，具有連續(xù)變量的時滯差分方程也得到了人們的廣泛研究[4-5]，在文獻[6]中研究了如下具有連續(xù)變量的非線性差分方程

得到了方程振動的兩個充分條件，在文獻[7]中作者利用微分中值定理研究了具有連續(xù)變量的差分方程

解的振動性，得到了方程振動的一個充分條件.因為，考慮脈沖現(xiàn)象對狀態(tài)的影響，能夠更深刻、更精確地反映事物變化的規(guī)律，也是十分必要的.隨后脈沖也被引入到微分差分方程中來[8-10]，而這類方程在實際中也是大量存在的.

考慮具連續(xù)變量的脈沖時滯差分方程

(1)

rδ=min{δ-τ,δ-σj,j=1,2,…，m}

任給Φ∈C([rδ,δ],R)，稱函數x:[rδ,∞]→R為方程(1)滿足初始條件

x(t)=Φ(t),t∈[rδ,δ]

(2)

的解，x(t)在[rδ,∞]幾乎處處連續(xù)，在tk左連續(xù)，對t∈[δ,∞]滿足方程(1)，對t∈[rδ,δ]滿足方程(2)，方程(1)的解稱為振動的，如果它有任意大的零點，否則稱為非振動的，若方程(1)的每一解都是振動的，則稱方程(1)是振動的.方程(1)的輔助方程為

(3)

方程(3)滿足初始條件(2)的解y(t)是在[rδ,∞)幾乎處處連續(xù)的，在tk(tk>δ)處右連續(xù)的函數.

1 兩個引理

引理1[11]若存在自然數K，使當k>K時，有bk>-1，則方程(1)振動，當且僅當方程(3)振動.

2 主要結果

(i)對任意大的T0，都存在T>T0,使pi(t)在區(qū)間[T,T+2σ*+(σ0-τ)]上非負；

(4)

最終成立.

證明由引理1可知，欲證方程(1)振動,只需證方程(3)振動即可.

設y(t)是方程(3)的任意一個解，要證方程(3)振動，只需證對任意大的T0，均可找到一有限區(qū)間，使y(t)在此區(qū)間上有零點即可.取T0充分大，由條件(i)可知，存在T>T0,使pi(t)在區(qū)間[T,T1]上非負，下面只需來證在區(qū)間[T,T1]上y(t)有零點即可，這里T1=T+2σ*+(σ0-τ).

用反證法.假設y(t)在區(qū)間[T,T1]上恒不等于零，不妨設y(t)>0，當t∈[T+σ*,T1]時，有

y(t)>0,y(t-τ)>0,y(t-σi)>0,

i=1,2,…，m

從t-τ到t對方程(3)積分得

即

(5)

(6)

且

z′(t)=y(t)-y(t-τ)≤

ω′(t)=z(t)-z(t-τ)≤0

(7)

ω(t)≤τz(t-τ)

即

(8)

由(6)式、(7)式和(8)式有

(9)

對(9)式兩邊從T+2σ*到T1積分，再由(4)式可得

ω(T1)≤ω(T+2σ*)-

這與ω(T1)≥0矛盾，故方程(3)無最終正解，證畢.

定理2設bk>0對所有k=1,2,…，成立，pi(t)是非負實數，若時滯微分方程

證明由引理1可知，欲證方程(1)振動,只需證方程(3)振動即可.

用反證法.設y(t)是方程(3)的一個最終正解，仿照定理1的證明，可得

振動矛盾，方程(1)振動，證畢.

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