自然數的類楊輝三角性與循環性

劉 輝, 鄧海云

(云南民族大學 數學與計算機科學學院, 云南 昆明 650500)

1 引言和預備知識

數學大師陳景潤、張明堯給出了一些自然數二次冪的獨特性質:兩位數(xy)102=(abcd)10((abc)10)，且(yx)102=(dcba)10((cba)10)，三位數性質類似,并找出了具有這一性質的所有兩位、三位數.本文在此基礎上首先對二次冪的性質作進一步的完善,同時給出兩個相應定義;其次研究兩位數三次冪的相應性質,并對具有這一性質的兩位數給出證明.有關自然數的獨特性質可參見文獻[1-6].

定義1若兩位數(xy)102=(abcd)10((abc)10),且(yx)102=(dcba)10((cba)10)，則稱自然數(xy)10具有2-循環性.

定義2若兩位數(xy)10n=(ab…pq)10，且(yx)10n=(qp…ba)10,則稱自然數(xy)10具有n-循環性,簡稱循環性.

定義3若兩位數(xy)102=(abcd)10((abc)10)滿足(x+y)2=a+b+c+d(a+b+c),則稱自然數(xy)10具有2-類楊輝三角性.若(xy)10對三次冪具有這一性質,則稱(xy)10具有3-類楊輝三角性,簡稱類楊輝三角性.

以上3個定義可以推廣到三位數及更高次冪.

定理1若自然數(xy)10具有類楊輝三角性,則它必具有循環性,即對一個自然數(xy)10而言，類楊輝三角性是循環性的充分條件.

證明假設以2次冪為例,自然數(xy)10若具有類楊輝三角性,即(xy)102=(abcd)10((abc)10)滿足(x+y)2=a+b+c+d(a+b+c),通過計算發現,112=121,又(1+1)2=1+2+1,則自然數11具有2-循環性.依次試下去,可得下列兩位數具有類楊輝三角性的性質:

112=121,112=121,(1+1)2=1+2+1;

122=144,212=441,(1+2)2=1+4+4;

132=169,312=961,(1+3)2=1+6+9;

222=484,222=484,(2+2)2=4+8+4.

則自然數(xy)10具有2-循環性.同時我們發現152=225,而512≠522;552=3025,而3025≠5203,所以這兩個自然數不滿足類楊輝三角性,故也不滿足循環性.同理可得高次冪也具有該性質.則自然數(xy)10具有循環性.

2 兩位、三位數的2-循環性和2-類楊輝三角性

2.1 兩位數的循環性和類楊輝三角性

性質1所有具有類楊輝三角性的兩位數為：11,12,13,22.

先固定其中一個,即x=1,就有(1y)2=100+20y+y2,(y1)2=100y2+20y+1.(1y)2的最大值小于400,于是1≤y≤3,否則它的平方數達到四位數,不符合要求.即當x=1時,具有這種性質的二位數只能從以下數字中找：11,12,13，但是它們都符合要求.

若x=5,…,9，可證明其具有類似的情況.因此,只有11,12,13,21,22,31這6個兩位數滿足上述性質.

2.2 三位數的循環性和類楊輝三角性

定理2若三位自然數具有循環性,當且僅當它具有類楊輝三角性.

證明對于三位數與二位數討論方法一樣,(xyz)10表示三位數,x,y,z分別表示百十及個位數字.為了使(xyz)10具有上述性質,則必須滿足1≤x≤9,0≤y≤9,1≤z≤9.

在這里我們只討論x=1的情況,則有:

(1yz)102=(100+10y+z)2=10000+100y2+

2000y+20yz+z2

(1)

(zy1)102=(100z+10y+1)2=10000z2+

2000yz+100y2+20y+1

(2)

由式( 2 )可知,(zy1)102的個位數為1,由于10000<(1yz)102≤39601,故(1yzx)102是一個五位數.對0≤y≤3有(1yz)102≤1392=19321,對y≥5有(1yz)102>1502=22500,而y=4時,對z=1有(1yz)102=1412=19881,對2≤z≤9有20164=1422≤(1yz)102≤1492=22201.因此必須有

0≤y≤3,1≤z≤9或y=4,z=1

(i)

又若z≥4,則(zy1)102≥4012=160801,這是一個六位數,而(1yz)102<2002=40000,這是一個五位數,因此必須有

0≤y≤3,1≤z≤3或y=4,z=1.

(ii)

而對y=3,則有

(1yz)102=(13z)102=16900+260z+z2

(3)

(zy1)102=(z31)102=10000z2+6200z+961

(4)

當z=3時,式(3)的個位數為9,而式(4)的最高位數為1,顯然不符合條件,則必須有

(iii)

要滿足( iii),則只有在下列數中尋找:

101,102,103,111,112,113,121,122,123,131,132,141.

經計算,當y=0時,z=1,2,3都滿足上面的性質;當y=1時,z=1,2,3時滿足上面的性質;當y=2時,z=1,2滿足上面的性質.其余的三位數依此類推.綜上所知,僅以下15個數滿足要求，即101,102,103,111,112,113, 121,122, 201, 202,211,212，221,301,311.還可以對更高位數進行討論,這里不再說明.

通過2.1及2.2的證明說明,滿足循環性的自然數必定滿足類楊輝三角性,則給出如下定理.

3 兩位數的3-循環性和3-類楊輝三角性

上面已經給出了所有滿足2-循環性和2-類楊輝三角性的兩位自然數,那么現在將這兩個性質推廣到3-循環性和3-類楊輝三角性.

性質2所有具有3-類楊輝三角性的兩位數為:11.

證明記(xy)10表示一個兩位數，為使其滿足2-循環性和2-類楊輝三角性,顯然x=0或y=0不成立,于是必須有1≤x≤9,1≤y≤9.

1)當y=1時,有

(x1)103=(10x+1)3=(100x2+20x+1)×

(10x+1)=1000x3+300x2+30x+1

(5)

(1x)103=(10+x)3=(100+20x+x2)×

(10+x)=1000+300x+30x2+x3

(6)

于是,由式(5)得(x1)103的個位數為1,若(x1)10要滿足上述性質,則(1x)103的最高位數必須為1,而1331≤(1x)103<8000,并且它只是一個四位數,而2≤x≤9時,最高位數均不為1,即只有11滿足.

2)當y=2時,有

(x2)103=(10x+2)3=(100x2+40x+4)×

(10x+2)=1000x3+600x2+120x+8

(7)

(2x)103=(20+x)3=(400+40x+x2)×

(20+x)=8000+1200x+60x2+x3

(8)

于是,由式(7)得(x2)103的個位數為8,若需滿足上述性質，則(2x)103的最高位必須為8,而9261≤(2x)103≤23489,則(x2)10顯然不滿足.

3)當y=3時,有

(x3)103=(10x+3)3=(100x2+60x+9)×

(10x+2)=1000x3+900x2+270x+27

(9)

(3x)103=(30+x)3=(900+60x+x2)×

(30+x)=27000+2700x+90x2+x3

(10)

于是,由式(9)得(x3)103的個位數為7,而29791≤(3x)103≤59319,則(x3)10顯然不滿足.

4)當y=4時,有

(x4)103=(10x+4)3=(100x2+80x+16)×

(10x+4)=1000x3+1200x2+480x+64

(11)

而68921≤(4x)103≤117649,則(x4)10顯然不滿足.

5)當y=5時,(x5)103的個位數為5,而132651≤(5x)103≤205379,則(x5)10顯然不滿足.

6)當y=6時,(x6)103的個位數為6,而226981≤(6x)103≤328509,則(x6)10顯然不滿足.

7)當y=7時,(x7)103的個位數為3,所以(7x)103的最高位必須為3,而357911≤(7x)103≤493039,因為743=405224,故只能在71,72,73中找,由1),2),3)的討論可知，71,72,73均不滿足,則(x7)10不滿足.

8)當y=8時,(x8)103的個位數為2,而531441≤(8x)103≤704969,則(x8)10顯然不滿足.

9)當y=9時,(x9)103的個位數為9,而753571≤(9x)103≤970299,通過計算只有973,983,993三個數的最高位數為9,經計算均不滿足,則(x9)10也不滿足.

綜合1)～9)可知,所有具有3-類楊輝三角性的兩位數為11.

4 結束語

經過計算還發現:1113=1367631,(1+1+1)3=1+3+6+7+6+3+1=27;1013=1030301,(1+0+1)3=1+3+3+1.114=14641,(1+1)4=1+4+6+4+1;1014=104060401,(1+0+1)4=1+4+6+4+1;經過計算1114不滿足類楊輝三角性,再考慮11,101的五次冪也不再滿足.通過上述兩位數,三位數的二次、三次冪的證明可知，隨著位數及次冪的增大,滿足循環性和類楊輝三角性的自然數越來越少,那么是否可以斷定到了一定的p位數及q次冪后就不會出現自然數滿足上述性質,這有待于我們進一步的研究.

[1]陳景潤,張明堯.關于自然數中的一些有趣的性質[J].中學數學雜志,1985(8)：2-4.

[2]吳維煊.由楊輝三角形構建的數學聯系[J].數學教學研究,2010,29(2):54-57.

[3]王進明.初等數論[M].北京:人民教育出版社,2002.

[4]朱偉義.有關自然數方冪和公式系數的一個新的遞推[J].數學的實踐與認識,2004,34(10):170-173.

[5]趙新華.自然數冪和公式的對稱形式[J].云南民族大學學報：自然科學版,2011,20(6):481-485.

[6]孟凡申.自然數冪方和用二項系數表示的系數公式[J].數學的實踐與認識,2010,40(20):159-166.