穩健優化在導彈啟控點選擇中的應用

朱大林，唐勝景，郭 杰，熊俊輝

（北京理工大學 宇航學院，北京100081）

對于具有無控起飛段的導彈，實際飛行中由于受到各種隨機干擾的影響，其啟控點彈道參數是隨機分布的，從而形成相對于理論啟控點的散布。為了保證導彈受到良好的控制，啟控點散布應滿足制導系統開始導引的要求。如對于激光駕束制導的反坦克導彈，一般要求啟控點要落入規定的光束截面內。導彈啟控點的選擇一般是期望啟控點落入規定的區域內，并期望啟控點波動越小越好，這兩點一般可以通過啟控點彈道參數的期望和方差進行描述。為達到這2個目標，通常需要不斷地進行統計分析和篩選，以確定合適的啟控距離或時間以及相關總體參數（如初速度、發射角等）。文獻[1－2]采用Monte Carlo法對反坦克導彈的啟控點散布進行了研究，其中文獻[2]通過多次仿真確定了最佳的發射角；文獻[3]采用協方差分析描述函數法建立彈箭外彈道的隨機優化模型，并通過優化算法確定了偏角方差最小時有關總體參數的取值。上述方法雖然都可以用于導彈的啟控點選擇，但其不足之處為：統計分析效率比較低，篩選過程比較費機時；優化目標中沒有同時考慮優化條件對散布均值和方差的影響。

針對上述問題，本文采用穩健優化的概念和方法處理導彈啟控點的選擇問題，綜合考慮啟控距離（時間）和總體參數的取值對啟控點散布的影響。穩健優化（Robust Optimization）是產品質量工程中保證產品質量穩定的一種重要的設計方法，其基本思想就是通過優化算法在可行域內尋找最佳的設計方案，力圖使產品的質量特性均值盡可能地接近目標值，同時對干擾因素引起的波動盡可能地小[4]。可見，穩健優化與導彈啟控點選擇的目的是一致的。本文根據穩健優化響應面建模的思想首先對導彈擾動運動系統建立高斯型徑向基網絡（Gaussian Radial Basis Network，GRBN），并以GRBN為基礎給出不確定性分析的解析表達式；然后以某反坦克導彈啟控點選擇的要求為例建立穩健優化模型，并采用小生境Pareto遺傳算法獲得該模型的Pareto最優解集。對最優解進行Monte Carlo模擬打靶驗證表明，優化結果比較令人滿意，從而為彈道設計、制導系統設計等提供參考和依據。

1 可控因素和噪聲因素的確定

影響導彈啟控點散布的因素有很多種，如初始擾動、推力偏心、彈體質量分布不對稱、風、制造和安裝工藝誤差等。一般認為這些因素是隨機分布的，事先可以根據試驗數據或經驗確定其分布類型。為了區別對待這些因素，根據穩健優化的概念可將其分為兩大類：可控因素和噪聲因素。可控因素就是可以選擇其水平即名義值的因素，也是設計變量，通常由設計名義值和設計容差進行描述；噪聲因素就是不可控的因素，通常由其分布類型及數字特征進行描述。因此，導彈啟控點選擇的穩健優化就是在約束范圍內確定可控因素的最佳水平組合。

以某反坦克導彈的啟控點選擇為例，假設初步考慮的因素有：初速度v0，發射角θ0，初始滾轉角速度ωx0，加速發動機點火時間tb，啟控距離xc，初始彈道偏角ψv0，慣性中心主軸在彈體坐標系下的方位角λ和μ以及橫風wz。如果其水平可以選擇的因素有初速度v0，發射角θ0，初始滾轉角速度ωx0，加速發動機點火時間tb以及啟控距離xc，則確定的可控因素x和噪聲因素ω分別為x＝（v0θ0ωx0tbxc），ω＝（ψv0λμ wz）。這些因素的詳細描述分別如表1和表2所示。

表1 可控因素

表2 噪聲因素

2 擾動運動系統建模和不確定性分析

確定了影響因素之后，接下來就是對導彈擾動運動系統進行統計分析，從而為第3節的穩健優化做準備。導彈擾動運動系統的數學模型可參考文獻[5]，常用的分析方法有 Monte Carlo法和協方差分析描述函數法。Monte Carlo法是啟控點散布分析方法中一種簡單而有效的方法，但為了獲得精確的統計值，通常需要幾百次甚至上千次的模擬打靶，比較費機時。協方差分析描述函數法是運用描述函數理論將原來的非線性隨機系統進行統計線性化，通過求解導出的關于狀態變量均值和協方差的傳播方程，從而獲得相應的統計值[6]。這種方法可以明顯提高統計分析的效率，但目前統計線性化的理論主要是建立在狀態變量服從聯合正態分布的假設上，當原系統非線性程度比較高或狀態變量嚴重偏離正態分布時，協方差分析描述函數法的分析精度會明顯降低；而且，這種方法求解的微分方程比較多，不利于后續的穩健優化。基于上述討論，借鑒穩健優化響應面建模的思想，對導彈擾動運動系統采用GRBN進行擬合，并在此基礎上給出不確定性分析的解析表達式，這種方法可以顯著提高統計分析的效率。

2.1 GRBN建模

徑向基函數網絡是一種簡單而有效的建模工具，其中GRBN由于可以寫成便于概率積分的張量積函數形式[7]，因而在文中被選用。GRBN的數學模型可寫為

式中，‖·‖為歐氏范數，x＝（x1x2…xn），為n維輸入向量；x1，x2…，xm為徑向基網絡中心點；α0為常數項；α＝（α1α2…αm），為權系數向量，c為正的常實數。

GRBN的構造就是要確定網絡的結構和參數，其訓練過程可參考一般徑向基函數神經網絡的學習算法[8－9]。對于本文的導彈擾動運動系統，GRBN的構造過程為：首先選用合適的試驗設計獲得以可控因素和噪聲因素為試驗點、以啟控點參數為輸出的樣本；其次，對樣本進行分析，剔除一些離群點；最后，隨機選擇一部分樣本試驗點作為GRBN的中心點并通過Levenberg－Marquardt優化算法極小化樣本的誤差平方和，從而確定GRBN的α0，α和c。GRBN的擬合精度可以通過重采樣樣本進行檢驗，常用的檢驗準則有相對平均絕對誤差檢驗準則和相對最大誤差檢驗準則[10]。

2.2 基于GRBN的不確定分析

GRBN滿足擬合精度要求后，就可以對其進行不確定性分析。將式（1）改寫為

式中：xj為點x的第j個分量，xij為點xi的第j個分量。令

則

假設可控因素、噪聲因素彼此相互獨立，則根據文獻[7]的推導，式（3）輸出的均值和方差可表示為

對于形式為式（1）的GRBN，經過推導可得到如下結果：

若因素xj服從均勻分布，即

則

式中：Φ（·）為標準正態分布的分布函數。

若因素xj服從正態分布，即

則

3 啟控點選擇的穩健優化模型與求解

與確定性優化模型不同，穩健優化模型一般是采用概率論的術語進行描述的，比較常用的就是隨機變量的均值和方差。下面以第1節提到的反坦克導彈為例，建立啟控點選擇的穩健優化模型。

通常，反坦克導彈的發射角不太大，初始段彈道比較低。在選擇啟控距離和總體參數時，一般期望啟控點的方向偏差和散布半徑比較小，并期望啟控點有一定的高度且彈道角落入一定的范圍內，以防止其掉地或啟控后飛離視場范圍。根據這些要求，建立的穩健優化模型為

式中：E（·）表示隨機變量的期望；μxk為可控因素xk的名義值；yl，yu為高度界限；θl，θu為彈道角界限為可控因素名義值的界限；RCEP為圓概率誤差半徑，可采用如下公式進行計算[11]：

式中：σy，σz分別為啟控點的高度和方向均方差。

需要指出的是，如果希望穩健優化模型中某個約束具有一定的穩健性，可以通過引入方差進行調整。例如：如果希望高度約束具有一定的穩健性，可以將其修改為yl＋nlσy≤E（y）≤yu－nuσy，式中：nl，nu稱為σ水平。

求解上面建立的穩健優化模型，其實就是求解一個多目標優化問題。多目標優化問題的求解策略大致分為兩類，可將其轉化為單目標優化問題或者直接求解多目標優化問題，每種優化策略又有不同的優化方法。這里采用小生境Pareto遺傳算法直接求解建立的穩健優化模型。該算法采用Pareto支配關系進行錦標賽選擇，并采用小生境技術實現群體的多樣性，能較好地獲得穩健優化模型的Pareto最優解集，從而方便設計者根據自己的偏好進行挑選，算法的具體描述可參考文獻[12]。

4 算例仿真

下面仍以第1節提到的反坦克導彈啟控點選擇為例，假設瞄準線水平，根據第3節建立的具體穩健優化模型為

為了利用式（4）和式（5）進行不確定性分析，首先需要對導彈擾動運動系統構造GRBN。這里選用拉丁超方試驗設計選擇500個試驗點，通過對擾動運動系統的仿真獲得啟控點坐標y，z和彈道角θ的取值。隨后通過分析樣本剔除一些離群點，形成樣本容量為491的樣本。在構造以啟控點坐標y，z和彈道角θ為輸出的GRBN時隨機選擇75%的試驗點作為GRBN的中心點。GRBN的擬合精度通過重采樣300個樣本點進行檢驗，其相對平均絕對誤差均小于7%。

GRBN滿足使用要求后，接著采用式（11），優化算法設置5個子種群，共500個個體，種群進化100代，最后共獲得181個Pareto非支配解，形成的Pareto前沿如圖1所示。

圖1 Pareto前沿

為驗證優化結果的可信性，從上述Pareto非支配解解集中隨機挑選出一個解對原擾動運動系統進行500次Monte Carlo模擬打靶驗證。挑選的解為μv0＝24.15m/s，μθ0＝12.94°，μω0＝9.18r/s，μtb＝0.10s，μxc＝21.93m。

驗證結果如表3所示，通過 Monte Carlo模擬打靶獲得的散布圖如圖2所示。

表3 驗證結果

圖2 散布圖

由表3的驗證結果可以看出，除了E（θ）的數值相對有所偏大之外，其余的統計值基本上比較接近，啟控點高度和彈道傾角的均值均在約束范圍之內。從圖2的散布分布來看，這組解達到了預期的目的。

5 結論

本文采用穩健優化的思想和方法處理導彈啟控點選擇的問題，從仿真驗證的結果來看，這種做法是可行的。文中采用小生境Pareto遺傳算法可以獲得啟控點穩健優化模型的Pareto最優解集，從而為彈道設計者提供更多的參考和選擇。本文仍需改進的地方就是在優化過程中需要提高GRBN的局部擬合精度從而進一步提高穩健最優解的可信度。

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