貝葉斯信度理論下VaR計算的新方法

摘要：傳統的VaR方法通過方差—協方差法或者歷史數據法進行測算，但是這兩種方法都有顯著的缺點。文章通過貝葉斯信度理論（Bayes Credibility Theorem）針對傳統VaR方法的一些缺點，建立新的模型。

關鍵詞：貝葉斯信度理論；VaR方法；normal/normalmodel；連續復利

一、VaR模型及其兩種計算方法

風險價值VaR作為一個概念，最先起源于20世紀80年代末交易商對金融資產風險測量的需要，作為一種市場風險測定和管理的新工具，則是由J.P.Morgan最先提出的。VaR是一種應用標準數理統計技術來測定金融風險的方法，是通過密度函數或累積函數來表示風險的。在金融風險估計中，借助于投資組合市場價值變化概率分布的密度函數或累積函數來表示投資的風險屬性，將各種市場因素所引起的風險整合為一個一維的度量值——最大潛在損失值，就形成了金融市場風險度量的VaR方法。VaR的對象是某一金融資產或證券組合，它們可以包括股票、債券及其他的各種金融衍生工具。嚴格的說，VaR描述了在一定的目標期間內收益和損失的預期分布的分位數。

例如，持有期為1天，置信區間為90%的某一證券組合的VaR是1萬元，根據VaR的定義，其含義是，我們有90%的把握，該證券組合在未來的24小時內組合價值的最大損失不會超過1萬元。

在傳統的精算中，貝葉斯理論是用于測算保費的一種方法。他采用歷史數據和模擬參數共同估計未來保費。一般來說，保險費的精算采用Poisson/gamma模型，或者采用Buhrmann模型，不會采用normal/normal模型。因為normal/normal會使得保費出現負數的情況，與實際情況大相徑庭。但是在其他的一些領域中，normal/normal假設卻是十分有效且有科學依據的假設。

將這種方法應用于保險公司或其他金融機構的資產管理筆者認為將十分合適，因為金融機構管理資產的收益率可以用連續復利來完全表示，恰好與這里貝葉斯信度理論的normal/normal模型相吻合。

我認為的貝葉斯的信度理論能夠很好運用于資產風險中的市場風險管理中去。中國正面臨金融開放加速和市場爆炸性發展的階段，這個情況不符合歷史模擬法的前提條件，但是即便如此，也要充分利用已有的數據，才能糾正有誤差的參數。另外蒙特卡洛模擬法對人員素質的要求太高，同時開發成本也較高，因此使用方差—協方差法成為目前計量VaR的主流方法。下面筆者簡單介紹一下方差—協方差法和歷史模擬法。

首先，方差-協方差法。方差-協方差法是VaR計算中最為常用的方法。它假定風險因子收益的變化服從特定的分布（通常是正態分布），然后通過歷史數據分析和估計該風險因子收益分布的參數值，如方差、相關系數等，從而根據得出整個投資組合的VaR值。

其次，歷史模擬法。歷史模擬法假定回報分布為獨立同分布，市場因子的未來波動與歷史波動完全一樣。其核心在于根據市場因子的歷史樣本變化模擬證券組合的未來損益分布，利用分位數給出一定置信水平下的VaR估計。具體來講，它是根據每種資產的歷史損益數據計算當前組合的“歷史”損益數據，將這種數據從小到大排列，按照置信度c的水平找到相應的分位點，從而計算出VaR值。

方差-協方差法有一個重要的假設——正態分布假設。從統計學的角度來講，正態假設是建立在中心極限定理這個基礎上的。中心極限定理的原理是：一些現象受到許多相互獨立的隨機因素的影響，如果每個因素所產生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態分布的。但是很顯然，這個條件在現實中較難達到，特別是在行政干預較多的中國市場上。因為，政府的調控產生的影響并不能看作“微小”。這也解釋了實證研究發現：中國市場收益率的厚尾現象比較嚴重，用正態分布的假設可能還不能完全解決問題。由于收益率要使用有厚尾分布，所以需要估計的參數較為復雜，可信度較低。

歷史模擬法直觀有效，利用現實的數據來確定概率分布，從而省去了很多假設。比如，方差—協方差法一般采用正態或厚尾分布假設。歷史模擬法除了以上這些優勢，它也避免了模型參數錯誤導致預計概率分布錯誤的可能性。但這種方法沒有考慮到未來的不斷變化，有其局限性。

總的來說，方差—協方差法中的參數難以確定，歷史數據法難以把對未來的經濟形勢的估計在VaR中體現出來。針對方差—協方差法和歷史模擬法的劣勢，本文采用貝葉斯的信度理論來重新建立模型。

二、貝葉斯信度理論方法

本文采用的方法是：假設interestforce（連續復利也就是收益率）為隨機變量x，x服從（θ，σ21）的分布，其中θ為一隨機變量，σ21表示由的樣本方差估計的方差。xi是獨立同分布的隨機變量x的觀測值，觀測值數量為n。

θ：N（μ，σ22），其中μ表示期望值σ22表示方差，σ22通過類似方差協方差法得到：σ22=yiyjρi，jσiσj，

σiσj表示風險因子i和j的標準差，ρi，j表示風險因子i和j的相關系數，ρi，j表示整個投資組合對風險因子i變化的敏感度，有時被稱為Delta。

這里采用連續復利為隨機變量，而不用一般的單利計算，是因為筆者認為連續復利更具有正態分布的特征：多種因素影響隨機變量，而且每種影響的效果較小。并且利用連續復利更容易累加計算，不需要用到差分和微分。

這種方法的思路是：在θ給定時，假設連續復利x服從正態分布，正態分布的方差是從歷史數據中獲得的。X的期望θ則是一個隨機變量，也服從正態分布，這個正態分布的兩個參數是采用類似方差—協方差法的方法得到的。

這樣，本文提出的這種方法就克服了歷史數據法不能通過參數來對未來進行估計的缺點，也克服了方差—協方差法參數不準的特點。又因為這里x的實際分布不是的正態分布，將會增大VaR值，克服了歷史數據法VaR值偏小的缺點，使之能夠運用于較為波動的市場行情。

方法的具體使用：

注：這里的exp指的是exponential（指數函數在英國精算體系中的表示方法）

首先表示出的先驗分布：

f（θ）（Prior）∝exp-舍去exp中常數項后有

f（θ）（Prior）∝exp-+

然后表示出θ在觀測值下的極大似然函數：

∏f（xi）（Likelihood）∝exp-

舍去exp中的常數項后有

∏f（xi）（Likelihood）∝exp-+θ

將prior（先驗分布）與likelihood（似然估計）相乘后得到后驗分布的正相關量，也就是θ在已知觀測值x1x2……xi（用x表示）情況下的密度函數（時間間隔為Δt）：

f（θ|x）（Posterior）∝exp

-++θ+

可以發現這是一個正態分布，其中只有θ是隨機變量，這樣得到：

θ|x：N，

那么得到

μx==+-aX+（1-a）μ

σ2x=

注：μx=E（θ|x）σ2x=var（θ|x）

在給定θ的情況下，我認為未來一段時間內xi+1，xi+2…xi+m的服從獨立同分布的特征（時間間隔為Δt，mΔt=1），根據連續復利積累值的特征，我們現在要討論的是xp=（xi+1，xi+2…xi+m）Δt的分布情況。

有：（xi+1，xi+2…xi+m）：（mθ，mσ21）

可得：（xi+1，xi+2…xi+m）Δt：N（mΔtθ，mΔt2σ21）

即：xp：N（mΔtθ，mΔt2σ21）

利用卷積和條件概率的思想，有：

p（x）=f（θ）Fdθ=α…………？茌

其中，θ是積分變量，f（θ）是θ分布的密度函數，α是置信度。F（Z）表示標準正態分布的概率累積函數F（Z）=？覬（X≤x）。是正態分布中的分位數

通過這個等式可以求出分位數，在α置信度下x出現損失的區間為（xp，μX）

其中，μX表示E（x|x）根據統計學的公式有E（（x|x））=E[E（x|θ）|X]

由于x在給定θ的時候是正態分布，則有E（x|x）=E[E（x|θ）|X]=E[θ|X]

E[θ|X]在前面已經算出，即為μ。

所以單位資產單位時間內期望與在α置信度下可能值相差（事實上，單位時間內資產的分布在給定參數的情況下為對數正態分布）：exp-exp（xp）

根據前面的假設x表示的是interestforce（連續復利），那么在置信區間里單位資產單位時間內可能出現的損失為VaR=exp-exp（xp）

這種方法既吸收了歷史模擬法的充分利用數據的優點，也解決了歷史模擬法不能有效運用參數來估計未來的缺點。另外，我提出的這種方法延續了方差—協方差法采用多種風險因子來估計隨機變量θ方差的特點。

采用這種貝葉斯信度理論的估計方法有一個缺點，那就是？茌式需要計算機采用數值解法才能解決。因為其中的f（θ）表示正態分布的密度函數，而F表示標準正態分布的概率累積概率函數，這個函數是不能用基本運算公式表示的。但是這種方法與蒙特卡洛模擬法相比，已經簡便了許多。

本方法除了可以應用于指數連接債券等非固定收益的穩定金融產品VaR測算之外，還可以運用于股票等波動性較大的金融資產的VaR測定。但是由于這里采用的是連續復利服從正態分布的假設，如果波動較為頻繁，那么連續復利的時間段有可能難以確定，樣本觀測值的確定需要用一些特殊的手段。

筆者將在以后的學習研究中，利用數據對模型進行實證研究。

三、結論

綜合全文，normal/normalmodel在精算中一直不被重視，因為其現實意義有限，有可能出現與現實情況不符的負保費的情形。另外，貝葉斯模型一般用于保費期望的計算，本文著重討論了貝葉斯模型概率分位數的應用，并將此與VaR值相聯系。我將這種思想融入投資中去，建立新的有充分科學依據的理論模型。此模型可以綜合歷史數據法和方差—協方差法的優點，建立關于連續復利（interestforce）的分布函數，求得更為準確的VaR值。

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（作者單位：中國建設銀行總行國際業務部）