巧用“變異理論”，促進有效教學

一、研究的緣起與目的

“變異理論”主張，只有從不同的具體事例中才能分離出普遍原理，因此，學習遷移的必要條件是同時具備共性和差異性。在小學數學教學中，通過進行正反例的對比，識別生活中的非標準正例，能幫助學生有效建立正確的數學概念，最終提高數學素養。

“軸對稱圖形”是北師大版小學數學第二學段“空間與圖形”中的學習內容，教學重點是使學生初步認識軸對稱圖形的基本特征，難點是掌握判別軸對稱圖形的方法。本文旨在以“軸對稱圖形”這一內容的教學為例，探討“變異理論”對教學的有效促進。

二、教學內容分析與研究問題澄清

為了進一步澄清研究的具體問題和進行教學設計，須對教學內容（“軸對稱圖形”的概念）和學生的相關經驗進行分析。

1.教學內容的分析

（1）“軸對稱圖形”的概念

如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩側的部分能完全重合，這個圖形就是“軸對稱圖形”。“軸對稱圖形”的關鍵屬性是“對折”和“完全重合”，折痕所在的這條直線叫做對稱軸，有的“軸對稱圖形”具有一條以上的對稱軸。折疊后重合的點是對應點，對應點到對稱軸的距離都相等。其作用有兩個：一是可通過對稱軸的一邊畫出另一邊，二是可通過畫對稱軸證明兩個圖形是否全等。

（2）“軸對稱圖形”的正反例

在日常生活中，有很多“軸對稱圖形”，其相關的正例有：

建筑 天安門、天壇、故宮博物院

標志 五環、禁止停車、中國聯通

動植物 蜻蜓、瓢蟲、楓葉、花、魚

生活用品 手套、眼鏡

平面圖形 長方形、正方形、等腰三角形、等邊三角形、菱形

“軸對稱圖形”相關的反例有（見圖1）：

2.學生的相關經驗

變異理論強調，教學要以學生的經驗和困難為出發點，因此，教師應通過前測，以便細致地分析學情，最終為教學設計服務。

（1）關注學生已有的知識基礎

為了關注學生已有的知識基礎，教師可設置這樣的問題：“你知道哪些平面圖形？請畫圖表示出來。”整合學生的答案可知，大部分學生對已學的長方形和正方形有比較清楚的理解（見表1），這為學習“軸對稱圖形”奠定了必要的基礎。

（2）關注學生已有經驗與新知識的結合點

為了關注學生已有經驗與新知識的結合點，教師可設置三個問題。一是“你見過哪些對稱圖形”。整合學生的答案可知，在全班34個學生中，有17個學生認為長方形或正方形是“軸對稱圖形”，這表明學生對長方形和正方形的對稱性具有一定認識，可將它們作為標準正例。二是“你怎么理解對稱”。整合學生的答案可知，在全班36個學生中，有4個學生認為“對稱是中間畫一條線兩邊一樣”，有12個學生認為“對稱是兩邊一樣”，有9個學生認為“對稱是四邊相等”，有11個學生不清楚“什么是對稱”。可見，學生對“軸對稱圖形”的認識非常模糊，“兩邊一樣”是學生對“軸對稱”最典型的感性認識。三是“下面哪些圖形是‘軸對稱圖形’”（見圖2和表2）。整合學生的答案可知，在全班36個學生中，40%的學生選擇五角星，所以，該例子可作為標準正例。

3.明確具體研究問題

本次行動研究旨在探究如何設計教學情景和教學活動才能讓學生深入感知“軸對稱圖形”的關鍵屬性，并學會應用這一關鍵屬性判斷圖形是否為“軸對稱圖形”。基于be6YjEsk/CeMkZz0oCep0g==此，教師應具體研究的問題有兩個：一是如何創設情景（可從學生的感性認識入手，引導學生理解“軸對稱”和“軸對稱圖形”），二是如何提供豐富例證（激發學生興趣，使其在活動中學習概念）。

三、教學過程與成效

1.首次教學

針對以上兩個研究問題，教師可制訂相應的研究方案和教學計劃，具體有三個教學環節。其一，欣賞、感受對稱。教師應以“變異理論”為指導，采用大量不同的正例（不僅有教材提供的民間剪紙、臉譜圖案和天安門城樓的圖片等，更有教師課外收集的、學生感興趣的圖片），為本課教學創設美感的氛圍。通過觀察比較，學生找到圖形的共同特征，最終得出結論：像這樣兩邊形狀大小完全相同的物體，我們就說它們是對稱的。其二，認識“軸對稱圖形”。教師可引導學生用“折”的辦法，證明圖形的對稱性，最終得出結論：圖形對折后，左右兩邊完全重合，這樣的圖形就是“軸對稱圖形”。其三，認識“對稱軸”。教師引導學生，把折過的對稱圖形打開，觀察折痕并比較折痕的左右兩邊是否“完全重合”，最終，教師引導學生總結、歸納出“對稱軸”的概念。

2.反思教學

首次教學后，從完成練習的情況看，大多數學生對“軸對稱圖形”的概念有了基本了解，但對“完全重合”的理解不夠準確和深入。經過與課題組其他教師交流和討論，我們總結出四個原因：其一，對“完全重合”的含義和“對稱軸”的概念等分析不透徹；其二，反例運用欠缺，未能使學生在對比、辨析中清晰地把握“軸對稱圖形”的關鍵屬性；其三，“兩邊一樣”的感性表述未得到有效糾正；其四，“完全重合”的反推意義未涉及，學生在辨析“軸對稱圖形”時仍存在一定困難。

3.教學修改

針對首次教學中發現的問題，我做了三個修改。其一，在利用剪紙引導學生認識“軸對稱圖形”的過程中，既讓學生動手操作和體驗，又加強對作品的分類、對比和分析（見圖3）。其二，給學生充足時間，讓他們觀察、實踐、思考和討論，以準確判斷幾個常見圖形（正方形、長方形、平行四邊形和三角形等）是否是“軸對稱圖形”。其三，利用典型反例（見圖4）引導學生將“兩邊一樣”和“對折完全重疊”加以區分，在認知沖突中對感性的前經驗進行糾正。其四，要引導學生根據“對稱軸”的一側圖形畫出另一側圖形，就要引導學生理解折疊后重合的點是對應點，對應點到對稱軸的距離都相等，以求更深入地理解概念。

4.反思總結

以“變異理論”指導“軸對稱圖形”這一教學內容的教學，具有三個意義。首先，教師應分析教學內容，明晰“軸對稱圖形”的本質特征。其次，教師要分析學生的已有經驗和困難，從而確定“軸對稱圖形”的關鍵屬性。最后，通過對豐富正例與典型反例的對比、觀察與研究，學生既能充分認識“軸對稱圖形“的本質特征，又能靈活應用“軸對稱圖形”的本質特征解決實際問題。

（作者單位：北京市海淀區定慧里小學）

（責任編輯：梁金）