將“變異理論”運用于“問題解決”教學

“變異理論”不僅可運用于小學數學概念教學，更能運用于小學數學“問題解決”教學。本文旨在通過“估計費用”這一內容的教學，探討“變異理論”在小學數學“問題解決”教學中的運用。

一、以往教學與問題反思

“估計費用”是北師大版小學數學五年級下冊“數學與購物”單元中的內容。估算的思想一直貫穿于小學數學教學的始終。《義務教育小學數學課程標準（2011年版）》對估算的要求有兩個：一是第一學段能結合具體情景，選擇適當的單位進行簡單估算，體會估算在生活中的作用；二是第二學段能在解決問題的過程中，選擇合適的方法進行估算。

“估計費用”這一內容創設了一家人去超市購物的情景，提供了所購物品的價格表，提出“估計花了多少錢”這個經常遇到的問題，以使學生結合具體情景，綜合應用所學知識，探索估算方法，最終培養他們的估算意識。基于此，我設計了三個教學環節。其一，談話導入，揭示課題。其二，創設情境，提出問題。其三，深化練習，提高估算應用能力。其中，第二個教學環節是關鍵，具體有四步：一是提出問題（星期天淘氣一家去超市購物，他們有一張購物清單，見表1，你能估算出這張購物清單的總價嗎？）；二是組織學生分組討論；三是學生積極匯報，教師適時鼓勵；四是教師引導學生分析教材，最終得出“去尾法”“進一法”“四舍五入法”和“湊整法”等。具體有“五問五答”。

教師：淘氣估算購物的價錢一定超過40元，他的估算正確嗎？

學生：淘氣的估算是正確的。將清單中所有物價的最高位相加，得出至少需要多少錢。他用的是“去尾法”。

教師：媽媽帶了100元錢，她帶的錢夠用嗎？”

學生：媽媽帶的錢夠用。將清單中所有物價個位上的數字進一，變成整十數進行運算，得出最多需要多少錢。在此，用的是“進一法”。

教師：淘氣第二次估算，他用的是什么方法？

學生：他用的是“四舍五入法”。

教師：媽媽第二次是如何估算的？

學生：媽媽用的是“湊十法”。

教師：爸爸是如何估算的？

學生：爸爸的策略是對部分加數分別相加湊十求和，并把個別加數的個位估算成5。

教學結束后，我認真反思。有兩點值得注意：一是這節課未能讓學生比較、分析各種估算方法的不同之處，并探尋它們的本質特征；二是為了獲得教學實效，我打算運用“變異理論”，完善“估計費用”這一內容的教學設計。

二、運用“變異理論”分析教學內容

運用“變異理論”分析“估計費用”這一內容的要點，具體有三步。其一，明確概念。估算，即在某種現實需求下，為了計算簡便，先將數據約估為整十或整百的數，再進行計算的解題方法。其二，弄清概念的變異維度。具體有兩個：一是估算方法的維度，包括“去尾法”“進一法”“四舍五入法”和“湊整法”等方法（見表2）；二是問題情景的維度，包括估計最少、最多和最接近等多種要求。用“去尾法”能估算出最少要付多少錢，用“進一法”能估算出不超過多少錢，將“去尾法”和“進一法”結合使用，可估算計算結果所在的范圍。相對而言，使用“四舍五入法”和“湊整法”估算的結果與精確計算的結果更為接近。因此，我們應根據具體情況選擇適合的估算方法。

三、學生情況分析

基于對教材的分析，我設計了四道前測問題，對兩個教學班的60個學生進行前測，并獲得測試結果（見表3）。

通過分析前測題目的測試結果，我發現有三點值得注意：一是學生已具有一定的估算意識，并掌握了一些估算方法，尤其在估算時最容易想到“四舍五入法”和“湊整法”；二是學生在使用“四舍五入法”估算時，沒有體會到用這種方法估算出的值可能比精確值大，也可能比精確值小，所以不能準確判斷“夠”與“不夠”；三是有一小部分學生只想到精確計算法，沒有估算意識，或把取近似數與估算混淆。

四、行動方案與教學過程調整

經過分析和研討，我將教學重點定位在根據具體情況選擇適合的估算方法上。為了引導學生辨析方法不同背后的條件差異，我設計了相應的問題情景。媽媽帶淘氣到小區超市按照購物清單（見表1）購物。后來，媽媽有急事先走，所以由淘氣排隊付款。請回答下列五個問題：媽媽拿出40元零錢，淘氣立刻說肯定不夠用，你說說他為什么判斷得這樣快？媽媽拿出一張百元鈔票，她認為肯定夠用，媽媽說得對嗎？她怎么算得這么快？結賬后，找回30多元錢，淘氣想快速驗算一下，他可以怎樣算？淘氣和媽媽的計算方法與收銀員的計算方法有什么不同？

通過討論，我引導學生依次得出“去尾法”“進一法”“四舍五入法”和“湊整法”等估算方法以及精算方法。隨后，我帶領學生圍繞幾種方法進行深入討論，以使學生關注審辨的關鍵特征，最終總結出“變異理論”運用于“估計費用”這一教學內容中的變異圖式（見表4）。

五、反思與總結

實踐證明，運用“變異理論”讓“估計費用”這一內容豐富起來。通過分析和比較不同的估算方法，學生發現：原來不同估算方法的背后有著相同的本質，而有著相同本質的不同估算方法適用的情況各不相同，所以要根據情況選擇適合的估算方法，即“在不同中找相同，在相同中找不同”。這樣，“估算費用”這一內容的教學便提升到嶄新高度。

（作者單位：北京市海淀區六一小學）

（責任編輯：梁金）