思維的課堂，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力

義務教育和高中階段數(shù)學課程標準都指出，數(shù)學教育要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力方面不可替代的作用。義務教育階段數(shù)學課程標準將“數(shù)學思考”列為四個課程目標之一，要求學生通過數(shù)學思考，發(fā)展數(shù)學思維，體會數(shù)學基本思想和思維方式。高中數(shù)學課程標準則將“注重提高學生的數(shù)學思維能力”列為十大基本理念之一。關注“以數(shù)學思維能力為基礎的數(shù)學能力的培養(yǎng)”是重要的評價維度之一。思維是具有意識的人腦對客觀事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律概括的間接反映，簡而言之，人的大腦思考問題的這種內(nèi)部活動就是思維[1]。根據(jù)數(shù)學思維活動的特點，在中學數(shù)學綠色課堂中，主要關注抽象思維、推理思維和發(fā)散思維活動。

一、抽象思維

高度的抽象性是數(shù)學的三大特點之一。所謂抽象思維，是指舍棄對象的具體形象，憑借概念，按照形式邏輯和辯證邏輯的規(guī)律，進行判斷和推理的一種思維。在中學數(shù)學課堂教學活動中，抽象思維主要體現(xiàn)在形成數(shù)學概念和應用數(shù)學知識兩種活動中。因此，我們主要從這兩個維度來評價數(shù)學綠色課堂中，學生抽象思維的運用和發(fā)展情況。

1.在數(shù)學概念形成過程中，運用和發(fā)展學生的抽象思維

數(shù)學概念的形成是學生數(shù)學學習活動的重要組成部分之一。數(shù)學概念的形成過程，應該是學生在觀察、分析、歸納等活動的基礎上，運用抽象思維，提取本質(zhì)屬性，舍棄非本質(zhì)屬性的過程。數(shù)學教師要通過設計有效的數(shù)學活動，促進學生對數(shù)學概念的理解，培養(yǎng)和發(fā)展學生的抽象思維。例如在“平行線的判定方法”教學過程中，在講授“兩條直線平行，內(nèi)錯角相等”時，當教師問“所有的內(nèi)錯角都相等嗎”，不少學生都會想當然地回答“是”，這就是由于他們沒有真正理解“內(nèi)錯角”的概念所導致的結(jié)果。如果教師在之前的教學中，引導學生學習內(nèi)錯角、同位角和同旁內(nèi)角等概念時，能夠設計有效的情境，通過“做一做（實際操作或媒體模擬）——看一看（兩個角的變化情況）——想一想（請學生給這兩個角命名）——議一議（小組交流，說明理由）”等教學流程，讓學生經(jīng)歷抽象這些概念的過程，就能清楚地把握它們的本質(zhì)屬性（位置關系），舍棄非本質(zhì)屬性（角的大小、其中兩條直線是否平行等）。

2.在數(shù)學知識應用過程中，運用和發(fā)展學生的抽象思維

數(shù)學是模型的科學[2]。現(xiàn)代中學數(shù)學教學日益強調(diào)模型思想和建模意識的培養(yǎng)，并在數(shù)學課程中明確以模型觀審視一次函數(shù)、不等式等基本內(nèi)容。因此，從廣義上而言，數(shù)學知識的應用過程，就是數(shù)學建模的過程。在日常數(shù)學課堂教學中，教師應該有意識地在問題解決過程中，通過清晰地表達、合理地化簡等過程，訓練和發(fā)展學生的抽象思維。比如在學完“一次函數(shù)”內(nèi)容后，教師就可以基于學生熟悉的“手機套餐”問題，設計“精打細算選套餐”活動，讓學生在調(diào)查研究的基礎上，利用學習過的知識，將問題化簡、抽象，建立數(shù)學模型，解決問題。需要注意的是，學生運用數(shù)學知識的過程中，教師要結(jié)合實際，盡可能放開手腳，讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程。

二、推理思維

推理是思維的一種基本形式，是學生獲取知識的重要方法，也是解答或證明問題的重要手段[3]。《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。”即將合情推理與邏輯推理放在了同等重要的地位。“觀察、實驗、猜想”實質(zhì)上是一個利用合情推理探索發(fā)現(xiàn)的過程，而“證明”則是在合情推理的基礎上，進行演繹論證從而完成完整的推理過程，得到合理且嚴謹?shù)慕Y(jié)論[4]。《中學數(shù)學綠色課堂評價標準》主要從合情推理和演繹推理兩個維度來考查學生推理思維的運用和發(fā)展情況。

1.合情推理

合情推理是從觀察或?qū)嶒灚@得的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比推斷某些結(jié)果。它的核心是“探索發(fā)現(xiàn)，歸納類比”。所以，教師能否為學生提供思考、探索、交流和發(fā)現(xiàn)的空間，讓學生經(jīng)歷“觀察、實驗、猜想”等活動機會，就顯得尤為重要。這也是考查教師是否重視學生合理推理思維培養(yǎng)與發(fā)展的重要依據(jù)之一。例如在“平行線的判定方法”教學案例中，教師就為學生提供了這樣的機會：讓學生觀察同旁內(nèi)角互補的情況，并通過“大家通過觀察猜想一下這兩條直線是什么關系？”“我們?nèi)绾蝸碜C明這個猜想呢”和“這和我們以前學習過的平行線的判定方法有什么聯(lián)系”等“問題串”形成的思維空間，讓學生較為流暢地找到證明同旁內(nèi)角定理的方法，并在腦海中形成了大致的證明思路。

2.演繹推理

演繹推理是從已有的定義、公理、定理和確定的規(guī)則，包括運算的定義、法則、順序等出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在數(shù)學課堂教學中，訓練和發(fā)展學生的演繹推理思維，是數(shù)學教育價值的重要體現(xiàn)之一。因此，《中學數(shù)學綠色課堂評價標準》也將教師能否有效培養(yǎng)和發(fā)展學生的演繹推理思維作為重要的評價指標之一。

要讓學生形成良好的演繹推理思維，在數(shù)學課堂教學中經(jīng)常性地整理學生松散跳躍的思維過程是很重要的一個方面。特別是在初始階段，教師需要經(jīng)常性地指導和反復強調(diào)。在前文提到的案例中，學生已經(jīng)通過合情推理找到了證明“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”的方法。接下來，教師就根據(jù)學生口述，板書了證明過程：

∠4+∠7=180。

∠7+∠8=180。

∴∠4=∠8（同位角的余角相等）

∴AB平行于CD（同位角相等，兩直線平行）

這時教師轉(zhuǎn)而問全班同學：“有什么不完整的地方嗎？”部分學生若有所思地表示贊同，教師繼續(xù)詢問道：“第一個式子是哪里來的？”部分學生回答：“已知的。”教師在第一個式子的后面補上證明理由：（已知），并反復強調(diào)證明的過程要按照格式注明式子的來歷，而后學生立刻反應到第二個式子也沒有寫證明理由，當教師問道：“第二個式子哪里來的？”學生齊答：“鄰補角互補。”經(jīng)過這樣的訓練，學生每次口述證明過程時，都會在式子敘述完后加上一句“理由是……”這就達到了訓練學生嚴謹思維的目標。

不難看出，與合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論不同，演繹推理注重結(jié)論的嚴謹證明，兩種推理方式雖然功能不同，但應相輔相成。

三、發(fā)散思維

發(fā)散思維又叫求異思維，它是由某一條件或事實出發(fā)，從各個方面思考，產(chǎn)生出多種答案，即它的思考方向是向外發(fā)散的。發(fā)散思維還指從不同角度去理解問題，尋找某一結(jié)論的各種可能的充分條件和必要條件，提出解決某一問題的各種設想和方法等[5]。由于這種思維是朝著各個不同方向進行的，思路開闊，易于探索到新結(jié)論，提出新的方法和思想，所以正如徐利治先生給出的公式“創(chuàng)造能力=知識量×發(fā)散思維能力”，發(fā)散思維能力越高的人，越有利于思維創(chuàng)造性的發(fā)揮。因此，學生發(fā)散思維的運用和發(fā)展情況也是《中學數(shù)學綠色課堂教學評價標準》的重要指標之一。在中學數(shù)學教學過程中，教師可以創(chuàng)造機會有意識地培養(yǎng)和再塑學生的發(fā)散思維。比如在上文教學案例中，教師在“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”證明方法探索和論證環(huán)節(jié)，就通過尋求不同的轉(zhuǎn)化方法（分別轉(zhuǎn)化為同位角相等、內(nèi)錯角相等）來發(fā)展學生的發(fā)散思維。需要注意的是，由于學生年齡特征的限制，教師要加以適時指導，以防止學生毫無目的地發(fā)散。

參考文獻：

[1]任樟輝.數(shù)學思維論[M].南寧：廣西教育出版社，1996.

[2]蔣志萍，汪文賢.數(shù)學思維方法[M].杭州：浙江大學出版社，2011.

[3]朱曉鴿.邏輯析理與數(shù)學思維研究[M].北京：北京大學出版社，2009.

[4]馬復.初中數(shù)學教學策略[M].北京：北京師范大學出版社，2010.

[5]周春荔.數(shù)學思維概論[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

（作者單位：1.北京師范大學教育學部 2.北京市石景山區(qū)基礎教育研究中心 3.北京市蘋果園中學）

（責任編輯：馬贊）