例談相遇問題模型的構建

《義務教育數學課程標準》強調，要“從學生已有的生活經驗出發，讓他們親身經歷將實際問題抽象為數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。”

何謂數學模型？數學模型是對現實世界的某一事物系統，為了一個特定的目的，根據事物系統特有的內在規律，采用形式化的數學語言或符號，概括地或近似地表達出來的一種數學結構。簡單地說，數學模型就是對實際問題的一種數學表達。一切數學概念、公式和算法系統、數學理論體系等都可以稱為數學模型。如，小學數學教學中，規則、定律、性質、數量關系、方程、字母式子、圖形、圖表等都是數學模型的具體體現。

數學模型的建立，是數學活動經驗的積累，是溝通數學現實問題和數學抽象概念之間的紐帶，更是解決數學問題最有效的方法。

那么，如何幫助學生形成模型思想？下面我就以相遇問題中模型的建立為例，談談自己的做法。

相遇問題由于涉及兩個運動物體，屬于較復雜的行程應用題。學生之前雖然已經學習了簡單的行程問題，對行程應用題中常用的三個等量關系式也已理解、掌握，但學習相遇問題仍有一定的難度。

一、創設情境，感知模型

例.星期天，小紅和小蘭相約去公園玩，她們同時從甲、乙兩地出發，相向而行，小紅每分鐘走50米，小蘭每分鐘走55米，3分鐘后兩人相遇，甲、乙兩地相距多少米？

數學源于生活，從學生已有的生活經驗出發，在教學時，創設學生熟悉的生活情景，縮短“學生起點”與“數學模型”之間的距離，激發學習興趣，體會數學在生活中的廣泛應用。

二、自主探究，體驗模型

1.模擬表演，幫助理解題意

教學時，我讓兩名學生模擬表演相遇的過程，引導理解題目中的“同時”“相向”“相遇”等關鍵詞，知道兩人相遇時，她們合起來已經走完了甲、乙兩地之間的全部路程，那么，她們兩人所走的路程和就是甲、乙兩地之間的距離。將情境中的本質屬性抽取構建出相遇問題的幾個關鍵特征，建立起新的語言模型。

2.畫線段圖，理清數量關系

表演中，學生發現相遇時間、路程的長短、速度的快慢等條件并非都能表演出來，此時，我告訴他們，理解題目需要數學方法，可以將三個位置用點表示，將他們行走的路程表示成一條線段。通過線段圖，幫助學生直觀、形象地理解各數學信息之間的關系，不僅能了解線段圖的畫法，而且對于題目的理解從生活經驗上升到數學模型，有助于分析數量關系，確定解決問題的突破口，尋找解決的辦法。

三、互助釋疑，建立模型

在建立模型的同時，我鼓勵學生根據線段圖，獨立找到解決問題的兩種不同思路，即先計算出兩人行走的路程，再相加。由于兩人同時出發，所用的時間相同，還可以先計算出每分鐘兩人所走的速度和，再乘相遇時間，計算出總路程。在此過程中滲透了數量關系式模型的雛形。接下來課件出示練習，歸納總結兩道題目相同的地方和解答思路上的共同處，水到渠成地建立起“速度和×相遇時間=總路程”這一數學模型。整個建模過程層層深入，引導學生經歷了自主探究、分析、比較、歸納、概括的全過程。

四、練習檢測，鞏固模型

1.兩列火車同時從兩地出發，相向而行，3小時后相遇，已知它們每小時分別行駛90千米、80千米，兩地相距多少千米？

2.甲、乙同時從兩地相向而行，甲每小時行83千米，乙每小時行95千米，兩小時后相遇，兩地之間的距離是多少千米？

（應用剛才建立的模型解決兩道和例題相似的問題，體現了模型建立的必要性。）

五、解決問題，應用模型

1.甲、乙兩人從同一地點同時出發，相背而行，甲每小時走3千米，乙每小時走3.5千米，5小時后兩人相距多少千米？

2.甲、乙兩輛汽車同時從蘭州出發，甲車每小時行52千米，乙車的速度是甲車的1.5倍，兩車開出4小時相距多遠？

3.兩列火車同時從相距525千米的兩地相對開出，3小時后相遇，一列火車每小時行90千米，另一列火車每小時行多少千米？

當相遇問題模型逐漸被學生理解掌握后，很容易形成思維定式，對于類似問題，不假思考，套用關系式。學生通過這一組變式練習，加深了對相遇問題內涵與外延的理解，重塑了相遇問題模型，深化了此類問題的本質屬性。

總之，在行程問題的教學中，我選擇用學生身邊熟悉的問題作為“數學建模”的起點，選用多種探究的方法，從易到難，讓學生在解題的過程中分析數量關系，逐漸建立“數學模型”，在探索、獲得數學模型的過程中，同時也獲得了構建數學模型、解決實際問題的思想和方法，不僅有知識方面的學習，而且還有對研究問題方法的指導，這對學生的發展來說，意義遠遠大于單純地獲得某一數學知識！

（作者單位 甘肅省慶陽市東方紅小學）

編輯 謝尾合