談幾何圖形問題中化歸思想的應用

摘 要：數學有效和高效課堂的模式構建是一個動態的生成過程，再復雜的圖形都是由基本圖形組成的，題目雖然千變萬化，但萬變不離其宗。因此，只要將復雜圖形抽象成基本圖形，抓牢變化題目中不變的因素，再難的題目也能迎刃而解。

關鍵詞：幾何圖形；化歸思想；應用

有效課堂和高效課堂已成為全社會普遍關注的熱門話題，既要減負，又要增效，看似矛盾的一組關系，正是我們所期盼和追求的永恒的課題。在新課程改革特別是在當前減負增效的背景下，構建有效和高效課堂，越發具有特殊的意義。面對日益復雜的數學題目，我們必須要有一套行之有效的方法去解決。也只有這樣，才能真正實現輕負擔、高質量。其實，再復雜的圖形都是由基本圖形組成的，題目雖然千變萬化，但萬變不離其宗。因此，只要將復雜圖形抽象成基本圖形，抓牢變化題目中不變的因素，再難的題目也能迎刃而解。

關于幾何圖形的分類，根據不同的標準，從不同的角度，可以有很多種分法。其中有一種探究性的分法體現了認識問題的兩個基本方向，很好地體現了數學思想和數學思維。這種分法是：一是設置變化性的圖形背景，探究由變化所體現的“圖形不變性”；二是設置有特殊條件或特殊結論的圖形背景，研究由此產生的“特定性質”。第一種分法是由特殊向一般擴充，第二種分法是向相對更為特殊的方向深入。下面主要探究圖形變化中“不變性”的兩種思考方向。

一、化歸到原來基本圖形的“變換性質”

如圖1，已知△ABO中AO=BO=4，∠AOB=90°，把一塊含300角的三角板DCP直角頂點P放在AB中點上（直角三角板短直角邊為DP，長直角邊為PC），將直角三角板DCP繞P點按逆時針方向旋轉α度。

①當旋轉角a滿足條件0°<α<90°時，若DP交AO于E，PC交BO于F，在上述旋轉過程中，PE與BF有怎樣的數量關系？請說明理由。 ②如圖2，當旋轉角α滿足條件90°<α<180°時，延長AO交PD或PD的延長線于E。延長O交PC于F，則PE與PF有怎樣的數量關系？請說明理由。③如圖3，當旋轉角α滿足180°<α<27°時，延長CP交OB的延長線于E，延長DP交OA于F，則PE與PF有怎樣的數量關系？請寫出結論，不用證明。④如圖4，當旋轉角α滿足條件0°<α<90°時，若DP交AO于E，PC交BO于F，在上述旋轉過程中，兩三角板重疊部分為四邊形PEOF，則重疊部分的面積有何變化？證明你發現的結論。

我們對上面的變化要進行認真地觀察與思考。經過仔細審題，其實以上各題都可以歸結為連接0P后證明△AEP≌△CFP，所有的結論就呼之即出了。即使題目變得再復雜，只要牢牢把握住基本圖形，一切就會迎刃而解。①②③小題連接OP后不難證明△AEP≌△CFP，所以不管圖形怎么變始終有PE=PF；④小題中連接OP后還是△AEP≌△CFP，所以四邊形EOFP的面積始終為△AOP的面積，即為△AOB面積的一半，因此始終是個定值。

二、考查圖形在變化中體現的統—性和差異性

如圖A，已知矩形ABCD，AB=■，BC=3，在BC上取兩點E、F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE、PF分別交AC于點G、H。①求△PEF的邊長；②若等邊三角形△PEF的EF在線段BC上移動，PH與BE有何數量關系？請證明你的猜想。

該題主要是研究等邊△PEF在矩形ABCD內平移的問題。第一步我們要把矩形ABCD的情況研究透徹。通過已知條件知道tan=■，即∠ACB=∠CAD=300；第二步我們要把等邊△PEF在矩形ABCD內平移的各類形態集中在圖B中進行觀察和比較。結果：①在特殊情況（E重合于B時），由Rt△AB（E'）P'可計算出P'E'=■=2，即△PEF的邊長為2。 ②比較△PEF和△P'E'P'兩種形態對應的圖形情況，有PH=PA=PP'+ P'A=BE+1，再比較△P''E'' F''和△P'E'P'兩種形態所對應的圖形情況，有P''F''（H''）=P P''P'+ P'A=B E''+1。這就自然使我們形成了對PH和BE數量關系的猜想，至于如何計算和證明，我們還要根據題目提供的條件來進行。從這個例子中，我們可以發現相當多的由圖形變換引出的不變性或變化規律的問題，思考和分析這類問題應以“變換”為線索，探究它們各類形態間的統一性和差異性，以及它們在變換過程中“變”與“不變”之間的內在關系。

上面是探究圖形變化引出的不變性的思考特征，下面再簡略提一下由情景擴充引出的不變性。由情景擴充引出的不變性也有很多種類，其中從特殊到一般是知識發展的一條重要途徑。在從特殊到一般的過程中，我們要研究哪些性質發生了變化，哪些性質沒有發生變化，發生變化的是按照怎樣的特點進行的。思考、分析、解決這類問題時應該注意如下兩點：一是要善于構造“特殊”和運用“特殊”；二是要善于在不同條件下把握知識與方法的共同點。

解題不是目的，重在過程，通過解題過程培養學生的思維能力、探究能力和創新能力，從而掌握數學思想和方法。化歸思想只是眾多數學思想中的一種。題海無涯，我們需要掌握一些解題策略——數學思想和方法，讓它們指引我們的學習之舟在知識的海洋中有目的地快速航行。

參考文獻：

[1]貢麗萍.幾何圖形中的變與不變[J].考試，2010（5）.

[2]孫曉天.研究學生，讀懂學生：必要與可能[J].基礎教育課程，2009（8）.