立足學生思維現狀 促進概念有效建構

數學概念本身有著嚴密的體系，且總是隨著客觀事物的發展變化和研究的深入而不斷發展演變。學生對數學概念的認識，也需要隨著數學學習程度的提高，由淺入深，逐步深化。因此，教師必須處理好概念自身的連續性和學生學習的階段性之間的矛盾，隨著數學學習的深入，關注學生對同系概念含義的更新與重構，使概念趨于完善。然而在現實中，教師往往比較注重概念的階段性學習，而忽視了在后續教學中的關聯、更新與重構，造成概念順應上的“脫節”，使學習效果大打折扣。下面筆者以“乘除法意義的發展”為例，通過列舉學生在解決小數、分數乘除法問題時出現的常見錯誤，分析學生在學習乘除法意義時的思維過程，進而提出改進策略。

一、問卷引發的思考

筆者曾對五、六年級學生作過一項問卷調查，了解學生對乘除法意義的掌握及相應的解決問題能力的情況。為了便于比較，問卷以題組形式呈現。

題組1：

一種餅干的售價為每千克15元，3千克這樣的餅干售價是多少？

一種餅干的售價為每千克15元，0.3千克這樣的餅干售價是多少？

題組2：

2升橘汁的售價為8元，每升橘汁的售價是多少？

升橘汁的售價為4元，每升橘汁的售價是多少？

題組3：

某種農藥2千克加水稀釋后可噴灑1公頃麥地，噴灑6公頃麥地需要多少千克農藥？

某種農藥千克加水稀釋后可噴灑1公頃麥地，噴灑公頃麥地需要多少千克農藥？

應該說，這種以相同的數學結構出現的問題是很有暗示性的，且題目也是一些基礎題，然而問卷結果卻表現出了明顯的差異：40位被測學生中，每項題組中的第一題綜合正確率高達98.3%，而第二題的綜合正確率僅為67.5%。這說明，學生對第一學段學習的乘除法問題掌握得較好，進入第二學段卻暴露出了問題。具體看學生的錯誤類型，都是不知道該選擇乘法還是除法來解決相應的問題，或是選擇了除法，但不知哪個數是被除數（如題組2第二題，很多學生用4×或÷4來解決）。筆者以為，此類問題的存在固然可以從數量關系教學這一角度去分析，但這不應被等同于學生的實際思維過程，只有立足于學生已有的知識經驗，探求已有經驗對學生產生的影響及數域擴展后給學生帶來的乘除法學習障礙，才能真正厘清學生的思維走向，進而對癥下藥。

二、分析與詮釋

毫無疑問，在乘除法教學中，意義的教學是首要的。縱觀整個小學階段，乘除法意義實際上呈現了不斷發展的特點，這同時又可看成一個更為漫長的發展過程中的一個環節（如負數、無理數等概念引進后的擴展）。從宏觀的角度看，二年級的乘除法意義學習階段性十分明顯，教師無疑會限于并強調“同數連加”的意義，這時學生所形成的內在表征就會有較大的局限性。特別是由于學生在開始學習乘除法時所接觸到的都是比較簡單的情況，也即主要局限于正整數的乘除，從而就很容易形成以下觀念：“乘法總是使數變大，除法則總是使數變小；乘除法中各部分都是整數。”到了第二學段，數概念得到了進一步擴展，此時教師更多關注的是計算本身，對乘除法運算意義一般都只是寥寥數語帶過，或簡單地以“與整數乘除法意義相同”走過場，而恰恰忽視了乘除法運算意義在新數域的推廣過程及所獲得的新的含義。以乘法為例，增加了“已知整體求部分”，如“6的是多少”，相應的除法則是“求整體”，如“已知一個數的是4，求這個數”。

顯然，從這樣的角度去分析，前面所提及的錯誤的發生也就不足為奇了，因為這在很大程度上反映了這樣的現實：題組1中，學生依據直覺意識到第二個問題的答案應小于15，進而，按照他們已建立的觀念，乘法總是使數變大，而只有除法才能使數變小，因此，選擇了除法；題組2中出現了分數，而學生頭腦中的乘除法各部分應是整數，所以一下子就變得茫然，即便正確選擇了除法，也不知該將哪個數放在前面；題組3第二題則是與學生之前建立的“同數連加”的乘法意義相沖突，因為這時分數的乘法顯然已不能看成“重復的加法”，而是“求一個數的幾分之幾是多少”，因此就容易出錯。

事實上，盡管通過分析找到了學生思維出錯的根源，但也應看到這種錯的“合理性”，站在學生的角度，他們不過是將僅僅適用于正整數乘除的某些“規律”錯誤地推廣到了正有理數中運用，這當然應當被看成是學生思維發展的一個必然過程。關鍵是，作為教師應清楚地認識到學生在乘除法意義學習中的局限性和遇到的困難，采取適當的措施引導學生較為自覺地去實現對乘除法意義的必要的推廣與更新。

三、小學階段推廣乘除法意義的策略

（一）豐富原型，加深對意義的多角度理解

對于乘除法意義本身而言，其內容是很枯燥的，但它植根于現實的沃土，意蘊豐富。在第二學段的教學中，教師仍應牢牢把握情境這條主線，實現乘除法意義的內涵發展。

在小學階段，乘除法意義大致有以下幾種。

1.等量組的聚集。即通常所說的“連加”。在這一情境下，兩個因數的地位并不相同，也就是過去所說的“每份數”“份數”，因此，也就有了兩種不同的除法逆運算，即通常所說的“平均分”“包含除”。

2.倍數問題。

3.配對問題。

4.長方形的面積。

這幾種原型在第一學段均已出現，但在學生頭腦中的印象是淺顯、零散的，僅限于正整數，且并未形成對乘法意義的階段性完整認識。隨著學生數概念的發展，相應的乘法意義應與其相互促進。在教學中，教師仍應努力豐富學生頭腦中的乘除法意義原型，提高其對意義的表征能力。

如在五年級上冊“小數乘法”單元中，筆者設計了這樣一道題：請用你喜歡的情境表達“1.3×5”的意義。

經過充分的思考、討論、交流，學生中產生了很多想法：有的編制了購物、長度、質量、面積等數學問題，有的畫實物圖或線段圖，有的用文字或加法算式直接說明。作品很多，但均從不同角度反映了不同個體對乘法意義在小數領域中的認識表征。此時，筆者不失時機地引導學生對作品進行歸類，尋找異同，理解作品背后所表示的意義。學生在整理后發現：1.3×5既可以表示5個1.3相加（等量組的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍數問題），還可以用在面積計算中等。也正是在這樣的交流共享中，學生原先停留在正整數領域中的乘法意義有了進一步的發展，在豐富的原型中體會到乘法意義在小數領域的推廣與延伸。

（二）制造沖突，促進學生對概念的主動更新

建構主義者認為，對于學生在概念學習中發生的錯誤不應單純依靠正面的示范或反復練習去糾正，而應以引發主體內在的“觀念沖突”為必要前提，使其經歷“自我否定”的過程。高年級學生正處于形象思維向抽象思維發展的過渡階段，已經具備一定的思考能力，如果教師只是簡單地將乘除法意義“教”給學生，缺少學習主體的自我內化過程，那么概念的發展就如浮光掠影。因此，教師應創設能引發學生概念沖突的情境，引燃學生思維的火花，引導學生主動對先前的乘除法意義的認識作出必要的調整，將新的含義引入到已有的知識體系中。

以分數乘法的教學為例，一位教師在教學中展示這樣一組情境：

（1）我的繩子長米，小明的繩長是我的3倍，小明的繩子有多長？

（2）我的繩子長3米，小明的繩長是我的，小明的繩子有多長？

引導學生通過畫圖、討論得出算式，反饋時，教師適時追問：都是×3，表示的意義相同嗎？這就引發了學生的思維沖突：如果說第一題可用“3個”解釋，那么后一題顯然不能，這題的意義又該怎樣表述？這樣，在對同一算式不同含義的挖掘中，學生很直接地感受到只用以前的“同數連加”的乘法意義已不足以解釋分數乘法中出現的新問題，產生了認知沖突，有了擴展新含義的需要。

在此基礎上，教師及時引導學生對第二題的算式意義進行研究，注意其發展變化，并指出在引入分數以后，“倍”的概念發展了，既包含了原來的“整數倍”“小數倍”，也包括了這節課所學的“一個數的幾分之幾是多少”。這樣，學生經歷了“沖突—建構—順應”的學習過程，新概念的融入便不再是教師強加，而是主動的更新與順應。

（三）提取本質，引導學生轉換關注視角

前文的分析中曾提及，學生在數域擴展后，容易將在整數乘除法意義學習中的一些“規律”錯誤地推廣到小數、分數乘除法學習中，繁雜的數據構成了學生在學習小數、分數乘除法中的一大障礙。面對新題目，學生往往更多地關注情境中所包含的數量，而不注意其中的文字內容，以及內容背后的運算意義。對此，教師不妨立足學生的思維方式，化繁為簡，抓住本質，以此修正認識誤區。

基于這樣的思考，筆者在實踐中進行了嘗試。以分數的除法意義教學為例，教材在編排中已經考慮到了學生的學習困難，采用由整數乘除法改編數據后過渡到分數乘除法的方式，幫助學生理解“分數除法的意義與整數除法的意義相同”，即“分數除法是分數乘法的逆運算”。從表面上看，學生通過已有知識已經促成了對新知的理解，而事實上，學生此時的理解僅僅是在特定題組中，脫離了題組這根“拐杖”，學生又會受到數據的干擾。因此，筆者緊接著出示了一組題，要求學生只列式不計算。

（1）把平均分成2份，每份是多少？

（2）里面有幾個？

（3）10是的幾倍？

（4）一個數的是8，這個數是多少？

（5）兩個因數的積是，其中一個因數是，另一個因數是幾？

可以發現，這組題雖然脫離了具體的情境，但都直指除法意義本身。在學生列式后，筆者追問：你是憑什么選擇用除法計算的？是否用除法計算，與題目中的數據有關嗎？這時，學生就會走出情境，思考題目背后的意義，思考自己選擇的初衷。“分數除法的意義與整數除法相同”，但具體表現在哪些地方呢？“平均分”“包含除”“倍數問題逆運算”“已知部分求整體”等，這些都是除法意義在具體問題中的結構本原。學生知道了這一點，也就能避開數據產生的干擾，而更關注于問題本身的含義，將視角從“關注數據”轉換到“關注意義”中來，進而，在面對復雜的情境、復雜的數據時，能以運算意義為依托，將問題簡化。

綜上所述，小學階段乘除法意義的教學應著力在階段性與發展性之間尋求平衡。換言之，對于任何數學概念的教學，教師都要立足于學生的思維狀態，關注其對概念的不斷更新、發展、重構，及時排除概念發展中的障礙，從而達成概念教學效果的最大化。