精心設計數學活動有效積累活動經驗

“基本數學活動經驗”作為2011版數學課程標準提出的“四基”之一，內涵豐富，構成復雜，但“基本”的成分包括：操作的經驗、探究的經驗和應用的經驗。這些基本的數學活動經驗的形成與積累離不開重要載體——數學活動。因此，落實“基本數學活動經驗”的教學目標，就應精心設計“數學活動”。

一、在動靜交替的感官經歷中積累操作經驗

數學是抽象性、邏輯性很強的學科，小學生的思維正處于由具體形象思維為主向抽象邏輯思維為主的過渡階段。小學數學教學必須在數學知識的抽象性和學生思維的形象性之間架起一座橋梁。這座橋梁就是動靜交替的感官經歷，即學生的手、口、眼、腦等多種感官參與到操作活動中來，不僅有行為的動，更有思考的靜（表面是靜，實際思維也在動）。教學中，只有組織全體學生利用多樣的操作介質經歷不同的操作過程，學生才能真正積累、形成操作經驗。操作經驗的形成離不開教師的設計和指導，為幫助學生積累豐富的操作經驗，教師除了要選擇恰當的操作材料外，更應精心設計操作的程序。實踐中，我們總結出以下兩種程序。

1.動為先導，以動促思

兒童是在動作中思考的，其直觀動作思維也被稱作“用手思維”。數學的學科特點與兒童思維的特征具有一定的相似性，這就決定了小學數學教學的動手操作活動，同樣是學生智力活動的重要源泉，也是學生積累直接經驗的重要途徑。多數的數學教學是從學生的動手操作開始的，并在動手操作的基礎上引導學生思考、交流和發現新知。

【案例1】蘇教版二年級上冊（下面的案例均為蘇教版）“認識平均分”

在幫助學生形成“平均分”的概念時，教師安排了這樣三次操作活動：

（1）任意分6個桃子，初步感知平均分：有的是平均分，有的不是。

（2）平均分8個桃子，建立“平均分”的概念：每份同樣多。

（3）平均分12根小棒，深入理解平均分：總數一樣，份數越多，每份數越少；每份都是同樣多。

平均分概念的形成離不開分物體的操作活動。怎樣組織“分物體”的操作活動呢？教師并沒有將教學停留在“分”的動作層面，而是借助學生分的動作不斷將思維引向深處：在三次操作活動之后都對“平均分”進行交流、反思。這樣就將學習過程中的操作活動和智力活動變為思維的對象進行反省，幫助學生將操作經驗進行優化。

2.靜為先導，以靜帶動

學生的操作是一種定向的心智活動，其方向決定于數學目標，其過程要有利于揭示概念的本質和知識間的內在聯系。所以，在學生操作前應安排一個思考的環節，其功能，一方面是完成操作的內部動因；另一方面是建立活動的定向映像，使之成為操作過程的導引與調節系統，也就是讓學生帶著問題去操作，即先思再做。

【案例2】二年級上冊“乘法的認識”

為了解學生是怎樣理解乘法的，可先讓學生畫圖表示4×3。在兩個班級我采用了不同的教學方法：第一個班級，學生沒有思考就直接畫圖，全班有30.8%的學生用第一種畫法來表示，有69.2%的學生用第二種畫法來表示。第二個班級，要求學生先想一想4×3表示什么意思，再畫圖表示4×3。用下面三種畫法表示的人數分別占5.9%、84.3%和9.8%。

第一種畫法：○○○○ ○○○

第二種畫法：○○○ ○○○ ○○○ ○○○

第三種畫法：○○○○

○○○○

○○○○

用畫圖的方法來表示乘法算式的意義，對于學生來說是有一個富有挑戰性的操作活動。由兩個班級對同一內容的操作對比可以看出：在思維引導下的操作才是有效和富有創造性的。

二、在出入穿梭的高峰體驗中積累探究經驗

在小學數學中，探究經驗集中體現在形成概念的經驗、發現規律的經驗和推理的經驗，即在概念形成、規律總結和邏輯推理等活動中積累的經驗。形成這些經驗的重要途徑之一就是“體驗”：讓學生在高峰體驗中體會、回味、總結、提升探究經驗。

1.進入沖突情境，點燃探究熱情

學生是學習的主體，其對于數學活動的參與態度與參與程度直接決定了數學基本活動經驗的獲取質量。教學中首先要帶領學生進入真實、有趣、富有認知沖突的情境之中，激發學生對數學活動的興趣，引發學生的探究熱情，調動學生積極參與探究活動。

【案例3】三年級上冊“認識周長”

周長概念的引入，教師創設了“懶羊羊每天繞操場跑一圈”的情境：第一天，懶羊羊沒有完全沿著邊線跑，而是跑到了操場的里面；第二天沿著操場的邊線跑，但是沒有跑到原來出發的地方；第三天沿著邊線跑，正好回到出發的地方。

關于“周長”概念的教學，多是從故事情境切入，如螞蟻繞樹葉爬行、小鴨子繞游泳池熱身等。這些情境盡管富有童趣，但仍無法激起學生探究的興趣。究竟什么樣的情境能夠激活學生已有的生活經驗，進而點燃學生的探究熱情呢？相對于螞蟻爬樹葉、小鴨子繞游泳池熱身而言，“繞操場跑步”更貼近學生的生活現實，“繞操場跑步”的生活經驗在“懶羊羊體育鍛煉”的兒童化情境中得到放大，學生的探究熱情被點燃，在三次鍛煉的過程中，生活經驗與數學本質的沖突逐步加深，學生從正反兩個方面深刻體驗到“周長就是一周邊線的長度”。

2.超脫沖突情境，反思探究路徑

學生在學習新知識之前，頭腦中并非一片空白，而是具有不同的原有認知結構，學生總是試圖以這種原有的認知結構來同化對新知識的理解，當遇到不能解釋的現象時，就會打破之前低層次的“平衡”產生新的“沖突”，通過“沖突”的不斷化解又會實現新的平衡與發展。在認知的二次平衡或多次平衡之后，教師應該引導學生及時跳出問題情境，反觀探究的路徑和方法，進而提升學生的探究經驗，使得探究經驗明晰化和系統化。

【案例3】三年級上冊“認識周長”

教學完周長的意義后教師組織了一個層次遞進的探究活動。

（4）比較這兩個圖形，說一說自己的發現：用不同方格數拼成的圖形，它們的周長可能相等。

（5）激疑：用相同方格數組成的圖形，它們的周長是否一定相等呢？

（6）操作驗證：以6個方格為例，在方格圖中畫出圖形驗證這個猜想。

（7）回顧反思：我們剛才是怎樣得到這個發現的？

上面的探究活動學生經歷了三次認知沖突：第一次是3個方格拼成的圖形，它們的周長并不是3個方格周長的總和；第二次是用不同方格數拼成的圖形（3個方格和4個方格），它們的周長可能相等；第三次是用相同方格數組成的圖形，它們的周長不一定相等。在這三次認知沖突中，學生一次次打破認知平衡，一次次建構新的認知結構。最后的回顧反思環節，是對三次沖突的梳理和總結，更是對探究路徑的梳理和提升。

三、在豐簡變換的問題解決中積累應用經驗

應用經驗主要是指運用數學知識和技能綜合進行鞏固練習的經驗、問題解決的經驗。這里僅探討問題解決的經驗。

數學問題解決的過程與數學建模的過程具有很強的相似性，學生形成應用經驗的途徑之一就是經歷數學建模的過程：理解現實問題情境——簡化并結構化所描述的情景——將被簡化的現實情景翻譯為數學問題——用數學手段解決所提出的數學問題——根據具體的現實情景解讀并檢驗數學結果。與此相對應的認知過程為：問題表征——模式識別——知識遷移——思維監控。其中，問題表征和模式識別對于應用經驗的形成具有極其重要的作用。

1.簡中求豐，表征問題

問題表征是指根據問題所提供的信息和自身已有的經驗，發現問題的結構，構建自己的問題空間的過程。這個過程既是對問題的理解和內化，也是對問題理解的一種解構。

解決問題的教學如果僅僅關注問題的答案，就顯得過于簡單了，因為簡單的問題中常常蘊含深刻的數學規律和數學思想方法。因此，教學應該從簡單入手，將簡單的問題進行豐富化處理，即擴大問題表征的時空，經歷問題表征的過程，積累問題表征的經驗。

【案例4】二年級上冊“求比一個數多（少）幾的實際問題”

在鞏固練習階段，教師先是安排了教材“想想做做”的第1、2兩題。

在讀題后并沒有讓學生動手解答，而是提出新的要求：如果畫圖來表示兩個小朋友走的格數，你想怎樣畫呢？引導學生逐步完成。

在此基礎上，引導學生說出直條圖的意思，使學生認識到由這個直條圖不僅可以清晰地得到信息，而且還可以清晰地看出劉芳走了多少格。

下面的圖你能看懂嗎？把你理解的題意說給同桌聽一聽。

本節課僅從知識的角度看，教學的內容比較簡單，但教師并不是著眼于知識的教學，而是注重數學活動經驗的積累——問題解決中“表征問題”經驗的滲透和指導：線段圖是數學問題常用的、重要的問題表征形式之一。蘇教版教材第一次出現線段圖是在三年級上冊。這節課出現直條圖（線段圖的直觀形式）就是在簡單知識中進行自然滲透，顯然，這樣的教學形式更為豐富和深刻。

2.豐中求簡，識別模式

模式識別是一種知覺過程，當人們能夠確認他所知覺的某個模式是什么，而且將它與其他模式區別開來的過程就是模式識別。在數學應用中，模式識別是指對數學模式的再認識。在數學問題解決中，具有共同結構的一類問題或者具有相同解法的一類問題就是一種模式。因此，要幫助學生形成識別模式的經驗，就要讓學生在豐富的問題中通過比較找出相同的特征，并用簡單的模式來表達這種相同特征。

【案例5】二年級下冊乘法練習十二

8.修一條800米長的水渠，已經修了7天，每天修84米。還有多少米沒修？

9.（1）冬冬看一本75頁的故事書，第一天看了20頁，第二天看了22頁。還有多少頁沒有看？

（2）冬冬看一本75頁的故事書，已經看了3天，每天看20頁。還有多少頁沒有看？

教學第9題時，學生讀第（1）小題后正準備解答，教師提示：這一題與前面的哪一題在解題方法和解題思路上是相同的呢？解答后再比比、想想：它們為什么會有相同的方法和思路？

同樣，在教學第（2）小題的時候，同樣啟發學生這樣思考、解答、比較。

最后引導學生比較、總結：這里的四道題其實就是兩類題，盡管每一類題目表述的內容和數量不一樣，但它們在解題思路和解題方法上都是相同的。這就提醒我們，在解決問題的時候，我們先想想它是屬于哪一類的問題，再按照相應的思路和方法去解答。

數學是使人聰明的學科，模式識別是使人變得聰明的靈丹妙藥。上面的教學，教師不只是帶著學生解答四道題，而是在前兩題的基礎上，引導學生先思考要解決的這個問題與剛解決的哪一題在解題方法和思路上相同，這個思考、比較的過程就是模式識別的過程。正確識別了模式，比解答幾十道題都有價值。因為模式是簡單的，問題是豐富的，在以簡馭豐的過程中學生識別模式經驗將逐步形成。

【本文為江蘇省教育科學 “十二五” 規劃重點課題《小學數學基本活動經驗形成的案例研究》（編號：B-b/2011/02/163）階段性成果。】

（責編 金 鈴）