開放探究過程 提升推理能力

數學課程標準中明確要求：數學學習內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理等數學活動。數學教學活動要建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能。在小學平面圖形面積計算公式的推導教學中，應引導學生親身經歷推導全過程，使學生在自主探究，體驗感悟中得出結論，從而激發學生的求知欲望，培養學生初步的推理能力。

筆者認為：對一個數學概念，并不是教師簡單地將一個結論拋給學生就可以了，而應讓學生將解決問題的思維過程暴露出來，這樣教師既教發現，又教猜想，也能教推理和探究。真如布魯姆所說：“探索是數學教學的生命線，探索得來的知識最深刻難忘。”

下面以三角形的面積計算公式的推導教學為例。

一、 數一數

數學學科較之其他課程最為顯著的特點是其知識內在的系統性、連貫性。新授知識以已學知識為基礎，又將為后學知識服務與鋪墊的。三角形面積計算公式的推導也一樣，它是編排在長方形、平行四邊形面積計算公式推導之后的教學內容。所以，我們在教學三角形的面積計算公式推導時，要充分挖掘與利用前面學過的知識。

【案例1】

師：紅領巾是我們少先隊員的標志，它呈什么形狀？它的面積有多大？這節課我們就一起來探究三角形面積的計算方法。

師：我們以前學習的長方形面積計算公式是怎樣推導出來的？

生1：是用單位面積的方格圖通過數數的方法推導出來的。

師：那么我們能否用同樣的方法來求得三角形的面積呢？我們把三角形的紅領巾放在平方分米單位面積的方格圖中，大家通過數數，來求一求它的面積。

師：你是怎么數數的？

生2：一個一個數，不足一格計半格。

師：一個一個數很麻煩，有沒有更簡便的方法？

生3：沿高線可等分成兩份，每份都恰好占5×3方格的一半，即7.5平方分米。所以紅領巾的面積應該是15平方分米。

師：也就是說三角形的面積剛好是整個長方形（10×3）面積的一半。而這里長方形的長其實就是三角形的底，長方形的寬就是三角形的高。所以三角形的面積恰好是它的底×高÷2。

師：那么是不是所有三角形的面積都可以這樣來計算呢？用方格圖通過數數的方法是不是很麻煩？我們有沒有更簡便更科學的方法呢？

上例是利用方格圖，引導學生通過數數的方法來進行推導的。這是充分尊重學生的認知水平，依據已學的長方形面積計算方法的推導為基礎而設計的方案。在這一推導過程中，學生經歷了最原始的數數方法，學生也真切感受到數數的局限性，從而激發起強烈的探究欲望。

二、 拼一拼

用兩個完全一樣的三角形可以拼組成一個平行四邊形，再根據已學平行四邊形的面積計算方法來推導出三角形的面積計算公式，這個方法推導過程簡單，學生比較容易理解與掌握。教科書中采用了小組合作學習的方式，引導學生通過動手操作，放手讓學生自主探究來感悟三角形面積的計算方法。如圖1所示。

上述教學環節是在教師的直接引導下，或者是要求學生在自學課本基礎上通過操作實驗而得到的結論。這樣的教學設計雖然比較順暢，但總感覺教師有“越位”之嫌。可否引導學生自主去思考探究呢？

【案例2】

師：在四年級的時候我們已經認識了平行四邊形的特征。如果將平行四邊形沿對角線剪開，會得到什么結果？

生1：剪成了兩個三角形。

師：這兩個三角形之間有什么關系呢？（要求學生動手操作）

生2：被剪成的兩個三角形完全重合，一樣大小。

師：那么反過來，是不是兩個完全一樣的三角形都可以拼成一個平行四邊形呢？請同學們動手試一試。

生3：恰好可以拼成一個平行四邊形。

師：既然這樣，現在如果我們要求一個三角形的面積，除了用數數的方法以外，還有沒有其他的方法呢？

生4：可以再加一個和它一模一樣的三角形拼成一個平行四邊形，然而再根據平行四邊的面積計算公式來求三角形的面積就可以了。

師：請大家看課本……

此例中，通過“對角線分平行四邊形”這一環節，學生提取活動記憶，明確平行四邊形可分成兩個完全一樣的三角形，再由逆向思維明確全等三角形可拼，再來感悟為什么要轉化，從而使轉化思想建構在學生自己的知識結構中。

在數學教學中，教師要樹立正確的目標意識，不應只停留于應試需要，僅僅是教會學生掌握一些知識與技能，側重于結果目標。特別是在新課程改革背景下，教師要切實轉變教育觀念。在教學過程中，教師要有長遠的目標意識，要重視過程目標，要從學生可持續發展的角度審視自己的教學，注重每一個教學細節，從“教會”學生知識向引導學生掌握“會學”的方法方向去努力。

三、補一補

如果單純地從學生的知識與技能目標角度來說，通過案例1和案例2的教學，足以使學生牢固掌握三角形面積的計算方法。因為相對而言，上述兩種推導方法比較簡明感性。然而就數學課程標準中提到的過程性目標要求，筆者以為有必要舍得花時間進一步深入挖掘，引導學生拓展思路，讓學生能通過其他各種方法來發現或驗證三角形面積的計算方法。

【案例3】

師：我們通過數數、拼組的方法推導出了三角形面積的計算公式，那么除此以外，還有沒有其他的方法可以驗證呢？

師：我們剛剛學過平行四邊形面積計算方法的推導過程，有誰能說一說它是通過什么方法推導出來的？

生1：是把平行四邊形割補成長方形推導出來的。

師：那么三角形能不能也通過割補法來推導它的面積計算方法呢？

師：如圖2-1，我們可以先確定一條底邊作高，經這條高的中點作底邊的平行線，然而沿這條平行線剪開，將它補到另一邊，觀察一下，拼成了一個什么圖形？或如圖2-2，延長三角形兩條邊的中點連線，并經一頂點作底邊的平行線，然后沿中位線剪開，將它補到另一邊，觀察可拼成什么圖形？（引導學生動手操作）

師：通過割補所拼成的圖形與原三角形有怎樣的關系？

師：我們可以將任何一個三角形都通過割補的方法拼成一個平行四邊形。圖2-1這個平行四邊形的底其實就是三角形的底，平行四邊形的高恰好是三角形高的一半（中點），所以三角形的面積是底×（高÷2），也就是底×高÷2。圖2-2拼成的這個平行四邊形的底是原三角形的一半，高與原三角形的相等。所以三角形的面積是（底÷2）×高，也就是底×高÷2。

以上教學，使學生經歷不同的求證方法，獲得了深刻的學習經驗。教師引導學生通過不同途徑，采用不同方法，利用不同手段，來驗證相同結果，讓學生真切感受到數學知識的博大精深，從而激發學生的探究欲望，提高學生的學習興趣。

四、 折一折

數學是一門科學。在數學教學中，應充分挖掘其內在的科學因素，培養學生的探索精神與創新能力。在小學階段的平面幾何教學中，更應致力于科學精神的培養要求。平面幾何對于小學生來說都是比較抽象的，而“思維從動作開始，兒童可以理解的首先是自己的動作”。要解決數學的抽象性與小學生思維特點之間的矛盾，就是要讓學生動手做數學，而不是用耳朵聽數學，要讓他們在動手做的過程中獲得感性認識。動手操作過程是知識學習的一種循序漸進的探究過程。教師要創造一切條件，創設讓學生參與操作活動的環境，多給學生活動的時間，多給學生動手操作的機會，多給學生一點自由，學生就會在“動”中感知，在“動” 中領悟，在“動”中發揮創新的潛能。

【案例4】

師：下面我們來一起來學習“折信封”的游戲。我們可以將三角形的三個角都向內折疊，仔細觀察會有什么現象？（引導學生動手操作）

生1：可以折疊成一個小長方形。

師：疊成的長方形面積與原三角形面積有何關系？

生2：三角形的面積剛好是兩個這樣的小長方形面積。

師：被疊成的小長方形的長與原三角形的底有什么關系？寬與原三角形的高有什么關系？

生3：長是底的一半，寬是高的一半。

師：那么這個長方形的面積可怎樣表示？

生4：（底÷2）×（高÷2）。

師：那么原三角形的面積可以怎樣求？

生5：長方形面積再乘以2。

師：也就是（底÷2）×（高÷2）×2，即底×高÷2。

在平面幾何教學中需要大量的實踐活動，要有充分的時間讓學生通過觀察、測量、動手操作，從而對平面圖形的轉換產生直接感知，這些不僅需要學生的自主探索、親身實踐，更離不開一起合作、共同參與，也只有在學生共同探討、合作解決問題的過程中才能不斷生成和發展。通過自主探究可以更加明確自己的看法，通過合作交流更有機會分享各自的想法。

培養與發展學生的創新思維能力是實施素質教育與推進新課程改革的一項重要教學目標，學生的創新精神是在其自主探索與合作交流的過程中逐步形成的，我們應根據學生的認知規律，排除學生在學習中的心理干擾，采用多種教學手段，不斷優化教學方法，引導學生運用多種感官體驗學習全過程，使學生能自主感悟抽象的幾何圖形知識，這樣才有利于培養學生的空間觀念，發展學生的創新思維能力。

筆者認為：只有突出教學過程的開放性，學生的主體精神力量才能得到呈現，個性特長才能得到強化，才能創造出一個高度自由的思維空間與實踐空間。教學過程開放的一種有效方法就是要加強學習過程的開放，因為學習過程的開放，就是注重學生對解決問題思路策略的拓展，其核心是讓學生學會數學地思考，從而得出各自最適合解決問題的方法。

（責編 金 鈴）