多邊形的平面密鋪問題淺析

多邊形的平面密鋪是新課標(biāo)小學(xué)數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，這部分內(nèi)容對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、動(dòng)手操作能力及審美觀念均具有重要意義。但密鋪問題不同于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，具有較強(qiáng)的開放性和探索性，因而教與學(xué)雙方均感到有較大的難度。現(xiàn)就多邊形的平面密鋪的常見問題作一淺析。

所謂平面密鋪，就是用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱作平面圖形的鑲嵌。

日常生活中最常見的密鋪圖形是多邊形。利用多邊形進(jìn)行平面密鋪可分兩步進(jìn)行：第一步，在一點(diǎn)處密鋪；在一點(diǎn)處能夠密鋪的條件是： 拼接在同一點(diǎn)處的各個(gè)多邊形的內(nèi)角和為360°且相鄰的多邊形有公共邊；第二步，由點(diǎn)及面。將一點(diǎn)處已經(jīng)密鋪的幾個(gè)圖形看成一個(gè)組合圖形，若這一組合圖形的任一頂點(diǎn)及引出的邊均可以在組合圖形中找到某一圖形與之銜接，則由一點(diǎn)處的密鋪可以綿延成平面密鋪，否則，只能實(shí)現(xiàn)一點(diǎn)處密鋪而不能實(shí)現(xiàn)平面密鋪。

一、任意多邊形的密鋪

多種任意多邊形組合的密鋪無規(guī)律可循，不做探討。對(duì)同種多邊形來說，若能在一點(diǎn)處密鋪，則一定也能綿延成平面密鋪。同種多邊形在一點(diǎn)處密鋪的條件是此多邊形內(nèi)角和是360°或是360°的約數(shù)。顯然符合這一條件的只有三角形和四邊形，即全等的任意三角形及全等的任意四邊形都可以密鋪（圖1）。若任意多邊形的內(nèi)角和是360°的倍數(shù)，只有特殊情形可能密鋪，無規(guī)律可言，不做探討。

二、正多邊形的密鋪

（責(zé)編 黃春香）