教師要比教材走得遠

有學者指出：教師的教學能力、教師的學科知識視野，是數學課程改革的相關實踐給予的一個重要啟示與教訓。因此，在實踐課程改革的過程中，我們需要不斷地審視自身的知識結構與課程內容的現實，努力做到對整個課程內容體系的“全景”把握，俯瞰自己所教學的課程內容。下面將以具體的課程內容“雞兔同籠問題”來談談我的一些探索和思考。

人教版小學數學教材六年級上冊的第7章的“數學廣角”，主要內容就是解決“雞兔同籠”類型的問題。教材在本章一開始就拋出了這道歷史名題，但并沒有立即著手解決它，而是通過簡化的問題（8個頭、26只腳的情形）來引出解決問題的各種方法，最后再通過“你能試著用上面的方法解決前面的‘雞兔同籠’問題嗎？”的提示讓學生模仿所介紹的解決方法來解決本章開頭提出的問題。隨后，教材在練習二十六中設置了一系列變式問題供學生進行相應的練習。配套的教師用書指出，本章的教學目標是“讓學生經歷從猜測到用‘假設法’和列方程的方法解決問題的探究過程，同時學習和體驗解決‘雞兔同籠’問題的不同思路和方法，體會代數方法的優越性及允許學生自行選用不同方法解決問題而不強求統一解法”。這實際上是指出了解決問題方法多樣化的具體教學要求。既然教材鼓勵學生用多種方法解決問題，那么，我們自然要追問：解決雞兔同籠問題的方法僅僅如本章教材所介紹的那么多嗎？還有沒有其他方法？本單元知識在整個中小學數學課程體系中的聯系如何？……既然教學不等同于“教教材”，我們教師應該反思自己能比教材走得多遠。

【反思一】對于雞兔同籠問題，還有不同的解法嗎？

如果將猜測也當做一種解法，那么教材里呈現的例1的解法，已經有5種之多。

解法1（猜測法）：猜測哪一組雞兔數目的組合滿足題意，是3只兔、5只雞嗎？還是4只雞、4只兔？……

解法2（枚舉法）：按照雞的數目從最大（8只）到0來列舉所有可能的雞兔數目組合，從中找出滿足題意的數目組合。

解法3（假設引出腳數差）：假設全部是雞，通過腳數的差異找到兔子數，再得到雞數。

解法4（列一元一次方程求解）：略。

解法5（用“雞兔抬腳”的奇思妙想求解）：略。

這些解法大體上是按照從算術解法到代數解法的順序編排的，突出了代數解法的一般性。然而，對于這個問題，還有不同的解法嗎？作為教師，我們是否應該儲備更多的解法呢？答案是肯定的。

比如，這個問題還可以用二元一次方程組來求解。設籠子里有雞x只、兔y只，則x+y=35，4 y+2 x =94。解之得到x=23，y=12。此外，當然還有其他解法，教材為了突出代數方法的一般性，所以只呈現了一部分解法。再加上二元一次方程組需要等到初中才正式學習，所以，教材將這種解法省略掉了。

【反思二】“雞兔同籠問題”的教材編排體系如何？

盡管教材僅僅是將上面提到的各種解決方法當作供學生“模仿”的例子，但我們作為教師，是不應該停留在“模仿”的階段上，應該善于拓展教學空間，儲備更多的知識，走得比教材遠。正如俗話所說 “要教給學生一杯水，自己得先有一桶水”，我們要能統觀“雞兔同籠問題”在整個教材體系中的編排。

首先，在五年級上冊的第四章“簡易方程”中，教材已經在練習十三當中設置了一道這樣的練習題：雞和兔的數量相同，兩種動物的腿加起來共有48條，雞和兔各有多少只？在那里，學生主要是用方程來求解的，至于將代數方法和方程方法專門對比、深化，這是在六年級上冊才進行的。而除了溝通算術解法與代數解法，我們還應能夠預期由本章各種解法向中學階段二元一次方程組內容延伸的前景。而這些知識聯系的空間，就是學生學科發展的空間。能否把握這個空間，是判斷教師學科知識水平的一個重要指標。

【反思三】如何夯實學生學科發展的基礎？

課本設置的雞兔同籠問題類型的練習題，包括各種各樣的求兩樣事物各幾何的問題：龜鶴40只，腳112只；38人租大船和小船共8只，分別可載6人和4人；12人植樹，男生每人種3棵樹，女生每人種2棵樹，共32棵樹；自行車三輪車共10輛，26個輪子；籃球比賽3分球與2分球，張鵬投了15個進了9個，共21分；大珠小珠共30個重266克，大珠單個重11克，小珠單個重7克；答對一題加10分，答錯一題扣6分，答10題得36分；37名學生分科技類小組和藝術類小組，科技類小組每組5人，藝術類小組每組3人，現分9個小組；有2分和5分硬幣共b枚，錢的總數為a元，兩種硬幣各幾何；花了231元買足球和籃球共6個，足球每個42元，籃球每個36元；100個和尚吃100個饅頭，大和尚一人3個，小和尚三人1個……這些題目涵蓋了各種生活情境。對此，教材的導向很明確，既要使學生佩服古人的奇思妙想和聰明才智，也要讓學生能夠在多種解決方法的探索和對比當中認識到解決問題策略的多樣性和代數方法的優越性，從而促進其邏輯推理能力的發展，鍛煉學生觀察、分析、推理和解決問題的能力。因而，通過解決這一系列問題，讓學生善于在不同的情境中把握問題的本質，這顯然就是學生學科發展的基石，應該成為一個最基本的教學要求。對此，我們又應該如何把握呢？

首先，我們需要引領學生辨別雞兔同籠問題的本質。比如，通過練習二十六中的這一道題目“盒子里裝著5分和2分的硬幣，一人從盒中任意取出硬幣若干，并說出硬幣的個數和總錢數，另一人來猜其中5分硬幣有幾個。”其實能夠幫助學生獲得進一步的精細化認識：盡管這里的“5分”不是一個偶數（例題里的雞和兔的腳數都是偶數），但它仍然適用類似的解決方法。由此，可以延伸出例題當中的“腳數”可以是任意整數的認識。這樣就排除了奇（偶）數這個非本質信息。類似的，關于搶答加分和扣分的問題，也讓學生對于“腳數”這個量的認識得到拓展。這些類似的拓展信息，其實都不是解決這類問題的本質。其次，我們需要讓學生明確，解決此類問題，關鍵就在于如何辨別問題中與例題中的“雞”“兔”相對應的量，以及與“雞腳”“兔腳”相對應的量，并能夠將例題中的數量關系遷移到新的問題情境中。而只有“雞”“兔”相對應的量，以及與“雞腳”“兔腳”相對應的量，這四個量之間的關系及其聯結著的結構，才是這類數學問題的本質結構。只有把握了這個本質結構，學生才能獲得解決這類問題的一般經驗，這才是學生跨越“模仿”教師和例題，獲得學科能力發展的關鍵。因此，在教學當中，我們不能僅僅帶領學生解完問題以后就戛然而止，而應該引導學生對解決這些眾多問題的過程進行回顧與反思，將學生的認識進一步升華到這個本質結構的理解上去。這就是我們需要幫學生夯實的“基礎”。

事實上，以上幾個方面包括了對教學內容拓展空間的反思、對課程內容編排體系的反思、對學生發展基點的反思，這樣的立體式思考，就構成了對該教學單元的“解剖麻雀式”的思考，從而使我們獲得了對該單元課程內容的整體把握。而這種思考的線索，無疑也能為我們對其他教學內容的思考產生一定的啟發。

學科知識并不是成功教學所需要知識的全部，但它是教學的必要條件，對教學起著重要的影響作用。我們不僅要把握好教材載明的對于“雞兔同籠”問題的各種教學要求和建議，還要擁有一個基于整個義務教育一貫制課程的“全局視野”，能夠知曉小學和初中課程內容及學生數學發展的銜接，才可能使我們的教學做到高屋建瓴、高瞻遠矚。總之，寬闊的課程視野，應該成為教師實踐課程目標的主動追求。

【本文為廣西教師教育2010年度立項項目研究課題——新課程改革中數學課堂教學的成功轉型（桂教師范[2010]60號）研究成果】

（責編 金 鈴）