小學數學概念教學的三“借”與三“辨”

概念是最基本的思維形式，是數學思想與方法的載體。如果學生對概念理解不到位，既影響他們對概念的運用，也直接影響他們思維能力的發展。由于小學生思維的形象性，促使我們在抽象概念的教學中要借助一些外部的直觀經驗模型和內部的深層辨析來幫助學生建立數學思想，理解掌握概念的實質內涵。

一、概念模式抽象中的三個“借助”

1.借助學具感知

數學概念是人們在生產實踐過程中通過對感性材料的分析，抽象出事物的本質屬性而形成的。所以，在概念教學時我們要利用日常生活中學生所接觸到的豐富而典型的事物作為感性材料，引導學生通過觀察和分析，形成概念的表象認識。

如，為了讓學生掌握單位“1”這一概念，教學時要為學生提供多樣的認知材料：一條繩子，一罐豆子，一把筷子，8個草莓圖，一杯水等。讓學生通過觀察發現一個物體、一個計量單位、一個整體都可以用單位“1”表示，從而掌握單位“1”這個概念的本質特征，為理解分數的意義夯實基礎。在幾何知識“長方體和正方體的初步認識”中，無論是線、面、體的概念還是圖形特征、性質都非常抽象，教學中教師可以利用牙膏盒、魔方等實物作為感知學具，讓學生“看一看”、“摸一摸”，“擺一擺”，從而感受長方體和正方體的面、棱、形狀的特征，初步建立長、正方體概念的表象模型。

2.借助模擬演繹

由直觀感知所獲得的對于概念表象的認識是粗淺的，具有局限性和片面性，學生往往難以“準確把握”和“全面理解”。在教學中，教師可以通過模擬演示，將微觀的理論直觀化，化抽象為形象，既能幫助學生理解和掌握知識，又可以讓他們知其所以然，激發他們濃厚的學習興趣。

如在學習了“射線、線段和角”后，讓學生找一找身邊的哪些物體具備這些圖形。由于學生知識經驗的差異，直接影響概念抽象的程度，也影響例證的“準度”，這樣，也有利于教師發現問題，及時解決補救，提高學生的數學思維能力。

又如，“平移和旋轉”一課的教學難點在于圖形平移距離的確定。教學中，先讓學生在準備平移的圖片上選擇某個點（或邊線）作為起點，找出移動后對應點（或對應線）之間的距離，也就可知整個圖形移動的距離，接著教師再用多媒體進行直觀演示，在演示中用閃動的線條確定移動前和移動后圖片的同一點或邊緣線段，解決了數學概念的高度抽象性和兒童思維發展具體形象性的矛盾，同時分散“確定基準點”和“找準對應點”的這個難點，使學生充分體驗了平移概念的形成過程，牢固形成平移概念的結構體系，構建了平移概念的模型。

3.借助例證舉隅

概念教學，既要注重教學的形式，更要注重概念內涵的理解和實際運用。在學生初步形成概念模型后，讓學生把獲得的經驗具體運用于例證舉隅，可以加深他們對所學知識的理解和記憶，發展邏輯思維能力。

如，某教師在學生體驗“平移”后，讓學生說一說生活中所見到的平移現象。馬上有學生能指著教室窗戶上掛著的窗簾布說“窗簾”。從窗簾移動的方式來看，拉開的窗簾布是在做直線運動，但這個現象經不起平移的考量。平移的關鍵在于“同一平面內”、“直線移動”、“圖形的形狀和大小不變”。當窗簾拉開時，窗簾布所占的面是否發生變化呢？數學是一門系統嚴謹、論證嚴格的學科，在學生表達時，教師要引導學生用數學的眼光去觀察生活，發現問題，不要讓表面的現象干擾了學生的思維判斷，逐步養成學生嚴謹、科學的縝密思維習慣。

二、概念模型建立中的三個“辨析”

1.逆向反例——異辨

反例是與正例相對立的，沒有反例的襯托，概念的特性不易凸顯。教學中不能單靠正面示范和反復練習去避免學生的錯誤，而是要巧妙使用反例，不斷地變換表述方式，在對比、分析、推理中升華概念。

如在學生初步認識“質數與合數”之后，給出“一個自然數，不是質數，就是合數”的是非判斷題。我們知道，質數只有1和它本身兩個約數，合數是除了1和它本身外還能被其他整數整除的自然數，無數個自然數中也包含“0”和“1”。通過這樣的綜合比較、全面分析，突出質數、合數的內涵，從而深化學生對質數、合數的認識。

又如“如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的三個內角對應相等”是肯定的例證，反之問：“‘如果兩個三角形的三個內角對應相等，那么這兩個三角形全等’這句話是否正確呢？”教學中類似這樣的反例有助于學生辯證地思考問題，從而鞏固和強化學生對概念的認識理解，促進學生全面、深刻地認識概念的本質屬性，培養學生思維的深度。

2.近似類比——思辨

由于數學系統知識的兼容性、相依性和生長性，數學概念中有一些名稱相似、意義頗近卻不盡相同、互有聯系又有本質區別的易混概念，教學中要讓學生加以辨別，在思辨中矯正學生的思維，防止由于理解的偏頗而泛化概念。

如“數位”與“位數”。數位是指一個數中每一個數字所占的位置。位數是指占有幾個數位的數。例如“2617”，最高位的“2”在千位上，表示2個千，“千位”就是數位。這個數占有“個位”、“十位”、“百位”、“千位”四個數位，所以這是一個四位數。

又如“容積”和“體積”，計算物體容積或容量要從容器內部測量出長、寬、高；如果計算體積就要從物體外部量出容器的長、寬、高。除此之外，還有“整除”和“除盡”、“平均數”和“中位數”等一些形似質異容易混淆的數學概念，構成了一種思辨數學的雛形，在教學中都要及時進行類比，理清它們之間內在的聯系和區別，讓學生熟練掌握其性質特征，從而實現學生應用意識的發展目標。

3.多維變式——善辨

一些教師習慣用常見的、學生熟悉的“標準”來呈現教學，導致學生對外延性概念認識不足。教學的有效途徑就是將概念的外延作為變異空間，將其所包含的對象作為變式，通過形變質不變類化不同變式的共同屬性，以此幫助學生全面把握概念內涵。

如教學“認識角”時，要注意提供有代表性的直觀材料，既要讓學生感知直角、銳角、鈍角等不同種類的角，又要注意變化角的大小和角的開口方向，這樣才能讓學生獲得對角的清晰認識。在學習“能被2、3、5整除數的特征”后，為了打破學生的慣性思維，將對概念的掌握和理解轉化為解決實際問題的技能，達到舉一反三的目的，可設計這樣的練習：在“12，30，45，60，80，150，1200”這幾個數中，既含有約數2、3，又有約數5的數有（ ）；既是2的倍數，又是3和5的倍數的數有（ ）；既是3的倍數，又含有約數2，還能被5整除的數有（ ）。這種綜合“變式法”打破學生已有的慣性思維，既培養學生思維的靈活性和廣闊性，也為學生今后學習最大公約數和最小公倍數的知識堅實基礎。