數學思想在數學問題解決中的重要性

數學題的求解過程是一個通過嚴密的數學邏輯推導與演算、逐步得出答案的過程，其中包括許多蘊含著不同數學思想的解題步驟。在數學教學實踐中，教師的一項主要任務就是對各種數學問題中所蘊含的一系列數學思想加以提煉并進行系統的總結，并將其系統地貫徹到數學教學過程中。

數學問題中所蘊含的數學思想因數學問題的不同而不同：有的數學問題蘊含的數學思想比較顯化，解題或教學中比較容易發現與運用，問題解決起來也相對容易；而有的數學問題蘊含的數學思想比較隱性，這時，如果不能理解與掌握其隱含的數學思想，就會給數學問題的解決造成困難；另一種情形是，一數學問題中蘊含各種數學思想并以顯性與隱性方式呈現，這樣，解題過程中就出現了有的步驟解起來較為容易、而有的步驟或過程解起來就較為困難，或者因不能很好地掌握其中的數學思想而無法解決。

因此，全面地理解、掌握并熟練地運用數學問題中蘊含的數學思想，是解決數學問題的關鍵；如何將數學問題中蘊含的數學思想有效地融于數學教學實踐中，使學生真正理解數學問題中的數學思想，是數學教學的關鍵。下面通過一道數學題的求解過程，闡釋該數學問題中蘊含的數學思想以及認識、理解、運用這些數學思想在解決數學問題中的重要性。

一、數學問題

已知：函數f（x）為奇函數，對任意的x∈R，f（x+2）=-f（x），且[0，1]在區間（x）=x，求函數f（x）在區間[7，8]范圍的解析式。

二、解題過程

解：當x∈[0，1]時，f（x）=x，f（x+2）=-f（x）=-x這樣x+2∈[2，3]，令X=x+2，X∈[2，3]代入

f（x+2）=-x=-（x+2）+2，則有f（X）=-X+2，

即x∈[2，3]時，f（x）=-x+2，f（x+2）=-f（x）=x-2。

同樣令X=x+2，x∈[2，3]有X∈[4，5]代入

f（x+2）=x-2=（x+2）-4有f（X）=X-4，

即X∈[4，5]時，

f（x）=x-4，f（x+2）=-f（x）=-x+4=（x+2）+6

如此得x∈[6，7]時，f（x）=-x+6，f（x+2）=-f（x）=x-6

即x∈[8，9]時，f（x）=x-8，……

按這個方法遞推下去，找不到區間[7，8]內函數的解析式。所以必須考慮f（x）為奇函數的條件。

在x∈[1，0]時-x∈[0，1]，f（-x）=-x

而f（-x）=-f（x），因而x∈[1，0]時，f（x）=x，

f（x+2）=-f（x）=-x=-（x+2）+2，

令X=x+2，X∈[1，2]代入f（x+2）=-（x+2）+2，則有f（X）=-X+2，即x∈[1，2]時，f（x）=-x+2，

f（x+2）=-f（x）=x-2=（x+2）-4，類似有x∈[3，4]時，f（x）=x-4，f（x+2）=-f（x）=-x+4=-（x+2）+6，

依次推下去，得x∈[7，8]時，f（x）=x-8。

三、探析解題過程中的數學思想

本解題過程是從條件“對任意x∈R，

f（x+2）=-f（x）及x∈[0，1]，f（x）=x” 出發，得到函數f（x+2）=-（x+2）+2，考慮用變量代換X=x+2依據的是換元思想，而構造出一個在區間[2，3]內的函數f（x）=-x+2又是構造思想的體現，按照這兩個思想繼續討論x∈[2，3]時f（x+2）=（x+2）-4，又可求出x∈[4，5]時的f（x），如此類推，即可得到[8，9]、[10，11]等區間的函數f（x）。這一過程融入了分類思想（分成[0，1]、[2，3]……區間討論）、歸納思想（即從具體的[0，1]內的f（x），尋找到用f（x+2）=-f（x）往下遞推的規律），又運用等價轉化思想將最初的條件[0，1]內的f（x）=x。轉化為條件[-1，0]內f（x）=x，進而按照上述的換元、構造思想，求得x∈[7，8]的f（x）=x-8。

這里，難點是換元思想到構造思想的過渡。從f（x+2）=-（x+2）+2作變量代換X=x+2，如何構造區間[2，3]內的函數f（x）=-x+2？教師要利用數學思想講清楚X所處位置的角色實質上是自變量，它與f（x）=-x+2中x的角色一致，只是用的字母符號不同。否則，學生會將X=x+2中的x與f（x）=-x+2中的x視為等同，不理解為什么兩者會不同而深深地陷入糾結中。前面的換元、構造思想清楚后，后面解題過程的理解就容易了，相應的數學思想學生亦能更好地感悟、認識，為進一步滲透數學思想，開啟思維奠定了基礎。

四、求解問題的拓展，數學思想的延續

上述數學問題雖然已經得以解決，但該題的求解思路仍在影響著學生，所運用的數學思想可以繼續指導學生將問題延伸拓展，教師可趁熱打鐵要求學生對上述數學問題的解題過程進行梳理，并求出整個實數范圍如此劃分區間的函數解析式。

通過教師的引導、分析，學生對該題解題過程及各區間的函數做進一步的梳理，并利用分類思想、化歸思想方法從x∈[-1，1]時，f（x）=x。

x∈[1，3]時，f（x）=-x+2；x∈[3，4]，f（x）=x-4；x∈[5，7]，f（x）=-x+6……

歸納得出f（x）=-x+4n-2 x∈[4n-3，4n-1]x-4n x∈[4n-1，4n+1]

滲透了從特殊到一般的歸納思想。根據f（x）的公式可以得到各個區間的函數，又完成了一般到特殊的數學過程。并據此作圖如下：

從圖像又可得出結論：y=f（x）在R上的圖像實質是由x∈[1，1]上的直線y=x及x∈[1，3]上的直線y=-x+2分別在x軸上平移±4n（n=0，1，2，……）個單位得到的，這一過程又是數形結合思想的充分體現。

縱觀整個解題過程，從數學問題條件的給出、對區間的分析、函數式的產生、圖像的描繪等至始至終又貫穿著函數思想，它是我們解決該問題的主線。圍繞著這條主線，在解題過程中我們分別運用了換元思想、構造思想、等價轉換思想、數形思想、歸納思想等。這些數學思想貫穿于該問題解決的始終，并分別出現于不同的解題步驟中。

由本題可見，一數學問題可能蘊含多種數學思想，如果不能清晰地認識、理解并運用多種數學思想，就無法解決具體的相對復雜的數學問題。要掌握數學思想，對數學教學而言，首先，教師在課前從具體的數學問題中提煉出可能蘊含的數學思想，并對這些思想加以分析、概括和總結；其次，教學中將問題蘊含的數學思想滲透到教學的各個環節。

五、數學教學中滲透數學思想

數學教學不是只就具體問題而解決具體問題的，而是在于通過具體問題的分析與講解，將具體問題中蘊含的數學思想逐步滲透到教學過程中，使學生從具體問題的解決過程中，接受數學思想的熏陶，獲得對問題的認識、理解，進而找到解決問題的方式、方法，并將解決問題的方式、方法轉化為自己應用數學思想解決問題的能力。

1. 數學思想融于數學問題之中

從上述數學問題的解析過程所運用的數學思想可以看出，數學思想融于數學問題之中，或者說，既沒有不包含數學思想的數學問題，也沒有游離于數學問題之外的數學思想。數學思想對數學問題的解決起指導性的作用，數學問題因數學思想的存在而彰顯神奇的魅力，因此，可以說數學思想是數學問題的靈魂。認識、理解和掌握數學問題中的數學思想，是我們認識、理解和解決數學問題的前提。解決數學問題的過程，就是運用數學思想進行邏輯推導與運算的過程。全面、正確地認識數學問題中蘊含的數學思想可以幫助我們正確解決數學問題，否則，就會曲解或者不能正確地解決給定的數學問題。

教學上，對數學思想的掌握程度，是衡量我們對數學知識理解與掌握程度的一把標尺。在數學教學與學習中，我們應當始終特別強調數學思想在解決數學問題中的重要性，而不是就解題而解題。題海戰術、只能使學習者厭煩，喪失學習的興趣，不能真正掌握解題的技巧；同時使教師疲于批改作業，而疏于數學思想的梳理、提煉和總結，更談不上在教學中將具體數學問題中的數學思想滲透給學生。

2. 數學教學過程是數學思想滲透的過程

數學思想融于數學問題中，反映出數學教學對數學思想的滲透貫穿始終，并通過數學思想的滲透來闡釋數學問題的內涵，揭示數學問題之間的聯系及解決數學問題的本質方法。脫離了滲透數學思想的數學教學就不能稱為真正意義上的數學教學。數學教學的目的，在于使學生真正地掌握認識、分析和解決問題的能力，使學生熟練地掌握數學問題中所蘊含的數學思想，并能運用數學思想解決具體數學問題，實現知識向能力轉化的過程。怎樣提高學生運用數學思想的能力呢？這需要從兩方面入手。第一，教的過程，教師首要任務是從具體數學問題中梳理、提煉和總結出各種數學思想，并將其融會貫通地滲透到教學的各個環節，使學生真正地理解數學問題蘊含的數學思想，從而掌握解題的方法和技巧，完成授人以漁而非授人以魚的教學過程；第二，學的過程，學生不僅需要做一定的數學題，更重要的是從教師的講解中理解數學問題中蘊含的數學思想，能夠做到舉一反三。在此，我們強調數學教學既不是為了做題而做題，而忽視數學思想的灌輸與學習，也不是為了數學思想，減少必要的解題訓練，數學思想的滲透是為解題提供思路、方法，解題的訓練是為培養和形成學生運用數學思想解決問題的能力。在教學中滲透數學思想，在解題中感悟數學思想，在理解數學思想的基礎上運用數學思想，這種教與學可以實現知識能力的雙重豐收，形成完整的數學思維方式，而不僅僅只是了解了解題的步驟，使對數學問題的認識停留在表層。

數學思想的滲透在教與學中是相互聯系，相互促進的，教師對數學思想提煉、總結講解得到位，教學方法應用得科學，能促進學生理解數學思想在解題中的運用，并能使學生通過對教師講解數學內容的梳理，挖掘出不同數學問題蘊含的同一數學思想，也可以發現同一數學思想在不同數學知識上的運用，從而使學生學會尋找數學問題中蘊含數學思想共性、區別的方法，并能實現自身對知識的再理解，再認識，提升自己對數學思想的認識，為進一步理解數學思想的實質奠定基礎。教師對上述題目數學思想的滲透使數學教學取得良好的教學效果，尤其在提煉、總結上，教師采用了兩步走的方法：第一步，完成區間范圍內求函數解析式過程蘊含數學思想的滲透總結，該過程主要由教師完成，目的是要學生明白解題過程蘊含的數學思想及這些數學思想是怎樣指導我們解決數學問題的。第二步，是教師指導學生完成問題延拓過程后，由學生來梳理、提煉數學思想的過程。前者是指導意義的總結，它可以幫助學生整體性地感悟數學思想，理解數學思想，并能給予學生如何利用已經學到的數學思想進行解決數學問題的一個啟發。后者是實踐意義上總結，是學生通過自身的解題實踐，挖掘、提煉的精華的思想認識。該認識可以幫助學生進一步理解數學思想，掌握數學思想的精髓，初步形成自己認識問題、解決問題的能力。

這種指導性與實踐性有機結合地提煉、總結數學思想的方法，不僅能使學生充分理解、掌握解題的方法步驟，而且可以有效地滲透數學思想，提升學生解決問題的能力。

3. 數學思想通過數學問題的解決對學生學習數學產生積極的作用

數學問題解決過程中數學思想的滲透對學生進一步學習數學具有重要的作用，主要表現在：（1）利于學生數學認知結構的優化。數學問題解決過程中數學思想的滲透豐富了學生感知、理解、推理的認識過程，使學生對數學問題的表象認識，上升到更深層次的理性認識，從而掌握解決數學問題的方法。在此過程中數學思想的注入使得學生意識中的數學概念逐步明晰化，理解認識逐步深刻，并能使學生對自己儲存的知識進行提煉、重組形成新的知識結構，因而可以更好地順應和同化新舊知識，優化學生的認知結構。（2）利于學生縝密思維方式的形成。數學思想在解決數學問題的過程中逐漸被理解、掌握，又指導應用于數學問題的解決。學生通過教師數學問題解決過程的數學思想的滲透，不僅逐步理解了數學思想，而且逐步學會用數學思想去分析、判斷、解決數學問題，其考慮問題的角度、方法會更全面，解題的思路更具邏輯性，思維方式會更縝密。（3）激發學生學習數學的興趣。嘗試新事物和探索未知領域是人類的本能。嘗試運用不同數學思想來解決同一數學問題，或者運用同一數學思想解決不同數學問題，在很大程度上能夠激發學生學習數學的欲望和興趣，并能增強學生分析問題解決問題的能力。教師通過本題區間[7，8]函數解析式求解過程中蘊含數學思想的滲透，可對學生產生潛移默化的影響，激活學生大腦潛在的數學意識，引發學生探求“能不能求出整個實數范圍如此劃分區間內的函數”問題的欲望。在探求該問題過程中，學生又會有新的發現、新的思考，如能否“一般求出的數學解析式？”這就會促進學生對問題的遞進思考，延續學生的思維活動，并最終利用數學思想完成一般數學解析式的求解。

由此可見，作為解決數學問題的一把鑰匙，數學思想貫穿于數學教學與實際應用的始終。應當說，數學思想來自于數學問題解析中，也必然應用于數學問題的解析中，用于指導數學問題的解決。因此，在數學教學中，教師的一項主要任務就是將數學問題中蘊含的數學思想滲透到教學實踐中。

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