久期規(guī)劃策略證明及應(yīng)用

2013-12-29 00:00:00秦新鋒

債券 2013年12期

摘要：久期規(guī)劃策略通過(guò)定期調(diào)整債券組合成份券，保持平均久期固定，可以實(shí)現(xiàn)在投資期限內(nèi)，無(wú)論成份券的到期收益率如何波動(dòng)，債券組合的平均年化收益率都會(huì)穩(wěn)定地向初始到期收益率收斂，收斂過(guò)程的波動(dòng)率會(huì)隨著投資年限的增長(zhǎng)而逐漸縮小。

關(guān)鍵詞：久期規(guī)劃到期收益率跟蹤誤差債券指數(shù)

久期規(guī)劃（Duration Targeting，下文中簡(jiǎn)稱DT）是由固定收益大師萊伯維茨博士在今年出版的新書(shū)《Inside The Yield Book》中提出的債券投資策略。該策略雖然簡(jiǎn)單直觀，卻顛覆了我們對(duì)于債券作為固定收益金融產(chǎn)品的傳統(tǒng)認(rèn)知：一是久期不僅可以用作衡量債券利率風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，還可以作為鎖定債券組合投資收益的標(biāo)桿。二是債券組合的應(yīng)計(jì)利息在經(jīng)過(guò)一定投資年限的累積后會(huì)抵消相對(duì)應(yīng)的凈價(jià)變化對(duì)投資收益的影響。

在此，筆者將久期規(guī)劃策略的主要理論呈現(xiàn)給讀者，并將該策略應(yīng)用于中央結(jié)算公司編制的不同類型的債券指數(shù)，通過(guò)追蹤債券指數(shù)的投資收益率確實(shí)向初始到期收益率收斂，在保持投資期限內(nèi)的久期穩(wěn)定的條件下，驗(yàn)證了久期規(guī)劃策略的有效性。

久期規(guī)劃策略的內(nèi)容及證明

債券組合的投資方式大致可以分為三類：持有至到期、久期免疫和久期規(guī)劃。持有至到期以追求絕對(duì)收益為目的，回收金額和期限固定，但是債券組合在投資過(guò)程中的價(jià)值會(huì)受到債市波動(dòng)的直接影響。久期免疫用于資產(chǎn)負(fù)債管理，主要目的在于減少由利率期限結(jié)構(gòu)變化而帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。二者的共同點(diǎn)在于債券組合的久期均會(huì)隨著時(shí)間流逝而逐漸降低。與之不同的是，久期規(guī)劃策略通過(guò)定期調(diào)整債券組合成份券，保持組合平均久期固定，可以實(shí)現(xiàn)無(wú)論各成份券的到期收益率如何波動(dòng)，債券組合的年化收益率會(huì)穩(wěn)定地向組合初創(chuàng)時(shí)的加權(quán)到期收益率收斂，并且收斂的波動(dòng)率會(huì)隨著投資年限的增加而逐漸減小。久期規(guī)劃策略的執(zhí)行可以通過(guò)設(shè)定一個(gè)債券投資組合的久期目標(biāo)或者追蹤一支久期穩(wěn)定的債券指數(shù)實(shí)現(xiàn)。在下文中筆者分別通過(guò)趨勢(shì)線模型以及隨機(jī)行走模型對(duì)久期規(guī)劃理論進(jìn)行證明，并給出該策略的跟蹤誤差以及總波動(dòng)率的衡量方法。

（一）趨勢(shì)線模型（Trendline Model）

圖1 趨勢(shì)線模型（單位：%、年）

在趨勢(shì)線模型中，我們假定持有平均久期為的零息債券組合，且每年該組合到期收益率等量遞增。如圖1所示，該組合的到期收益率初始值為3.0%，最終值為5.5%，在5年的持有期內(nèi)每年增加0.5%。為了保持久期穩(wěn)定保持在5.0的目標(biāo)（D=5.0），我們?cè)诿磕甑哪昴?duì)組合進(jìn)行調(diào)整，賣出久期較小的舊債，購(gòu)入久期較長(zhǎng)的新債。

對(duì)于零息債券，我們可以用如下公式近似計(jì)算其在年末投資收益率：

在第1年末的時(shí)候，利用上述公式我們可以推算出第一年投收益率為：。以此類推，表1列出了每年進(jìn)行調(diào)整后的投資回報(bào)率。

表1 趨勢(shì)線模型收益逐年變化（久期D=5年，投資期限N=5年）

年初始到期收益率到期收益率變化最終到期收益率久期凈價(jià)變化年末總回報(bào)率

13.0%0.5%3.5%4.0-2.0%1.0%

23.5%0.5%4.0%4.0-2.0%1.5%

34.0%0.5%4.5%4.0-2.0%2.0%

44.5%0.5%5.0%4.0-2.0%2.5%

55.0%0.5%5.5%4.0-2.0%3.0%

65.5%0.5%6.0%4.0-2.0%3.5%

76.0%0.5%6.5%4.0-2.0%4.0%

86.5%0.5%7.0%4.0-2.0%4.5%

97.0%0.5%7.5%4.0-2.0%5.0%

平均值5.0%0.5%5.5%4.0-2.0%3.0%

表1顯示，債券組合在每次調(diào)整后，由于債券到期收益率增加而帶來(lái)的凈價(jià)損失是-2.0%，然而由應(yīng)計(jì)利息累積的投資收益卻在逐年遞增（由第1年時(shí)的3.0%增加至第5年時(shí)的5.0%），但是凈價(jià)損失所帶來(lái)的影響還是主導(dǎo)了投資收益，前5年的平均年化收益率只有2.0%。我們由此繼續(xù)推算，當(dāng)久期規(guī)劃策略執(zhí)行到第9年的時(shí)候，由不斷增加的應(yīng)計(jì)利息累積所產(chǎn)生的投資收益會(huì)抵消凈價(jià)方面的損失，9年持有期的平均年化收益收斂至該組合的初始到期收益率3.0%。

表1僅描述了到期收益率持續(xù)增加的一種情形。事實(shí)上，當(dāng)債券的到期收益率下跌時(shí)，在凈價(jià)方面的獲利會(huì)被不斷下降的應(yīng)計(jì)利息收益削減。表2描述了在5年的投資期限后，最終到期收益率在（-3%，3%）的區(qū)間之內(nèi)，超額年化收益率（Excess Return）（等于年化收益率-初始到期收益率）與到期收益率變化的關(guān)系。

表2 趨勢(shì)線模型收益和價(jià)格變化（D=5年，N=5年）

到期收益率變化合計(jì)凈價(jià)變化合計(jì)應(yīng)計(jì)利息累積合計(jì)總收益合計(jì)5年平均年化收益率超額年化收益率超額年化收益率/到期收益率變化

-3.0%12.0%9.0%21.0%4.2%1.2%-0.40

-2.0%8.0%11.0%19.0%3.8%0.8%-0.40

-1.0%4.0%13.0%17.0%3.4%0.4%-0.40

0.0%0.0%15.0%15.0%3.0%0.0%-

1.0%-4.0%17.0%13.0%2.6%-0.4%-0.40

2.0%-8.0%19.0%11.0%2.2%-0.8%-0.40

3.0%-12.0%21.0%9.0%1.8%-1.2%-0.40

值得注意的是，表2中第7列中超額收益率與到期收益率變化的比率一直是-0.4，這個(gè)比率被稱為趨勢(shì)線久期（Trendline Duration）。在久期規(guī)劃策略中，趨勢(shì)線久期可以用代表應(yīng)計(jì)利息累積因素的累積因子（Accrual Factor）與代表投資期限因素（也可視為代表凈價(jià)影響）的久期因子（Duration Factor）描述：

圖2 累積因子與久期因子對(duì)投資收益的影響（橫軸單位：年）

如圖2所示，在執(zhí)行久期規(guī)劃策略的初期，代表凈價(jià)影響的久期因子對(duì)投資收益起主導(dǎo)作用，遠(yuǎn)高于累積因子的影響。然而，當(dāng)久期因子與累積因子相等的時(shí)候，趨勢(shì)線久期等于0。此時(shí)無(wú)論債券組合的到期收益率處于何處，該組合的平均年化收益率與初始到期收益率相等。在圖2中，累積因子與久期因子在第9年時(shí)相交，印證了表1的平均年化收益率向初始到期收益率在第9年收斂的結(jié)果。

由此我們可以得出，當(dāng)投資期限為2倍久期目標(biāo)減1的時(shí)候，趨勢(shì)線久期等于0，該投資期限被稱為有效到期日（Effective Maturity），有效到期日描述了實(shí)現(xiàn)收益率收斂所需的投資期限長(zhǎng)度。

（二）隨機(jī)行走模型（Random Walk Model）

趨勢(shì)線模型可以擴(kuò)展為包含隨機(jī)行走的更符合實(shí)際債市波動(dòng)的模型。利用隨機(jī)行走模型，我們可以估算出由債券收益率波動(dòng)而帶來(lái)的趨勢(shì)線波動(dòng)率（Trendline Volatility）與跟蹤誤差（Tracking Error）。在隨機(jī)行走模型中，趨勢(shì)線波動(dòng)率與跟蹤誤差互相獨(dú)立，共同構(gòu)成了久期規(guī)劃策略投資收益的總波動(dòng)率（Total Volatility）。

趨勢(shì)線波動(dòng)率是指由最終到期收益率的隨機(jī)變化而產(chǎn)生的波動(dòng)率，也是超額年化收益率的波動(dòng)率。我們假設(shè)到期收益率的變化是一個(gè)以均值為0，年化標(biāo)準(zhǔn)方差為1.0%（）的隨機(jī)行走過(guò)程。在5年的投資期限后，最終到期收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)方差變?yōu)椋@也意味著68%的收益率變化會(huì)在倍標(biāo)準(zhǔn)方差之內(nèi)。

在表2中，我們可以發(fā)現(xiàn)使用趨勢(shì)線模型的5年期年化超額收益率等于第5年時(shí)趨勢(shì)線久期的負(fù)值（-0.4）乘以到期收益率變化合計(jì)（到期收益率最終值-初始值）：

所以，趨勢(shì)線波動(dòng)率可以由以下方法計(jì)算：

圖3 趨勢(shì)線波動(dòng)率（D=5年，單位：%、年）

在圖3中我們可以看到，隨著投資期限的增加，趨勢(shì)線波動(dòng)率由第1年時(shí)的4%，快速減少到第5年的0.89%。當(dāng)投資期限等于有效到期日時(shí)（），趨勢(shì)線波動(dòng)率為0，9年投資期限的平均年化收益率等于初始到期收益率。

圖4 非趨勢(shì)線路徑（單位：%、年）

趨勢(shì)線波動(dòng)率描述的是最終到期收益率的隨機(jī)變化情況，然而如圖4所示，非趨勢(shì)線路徑中所產(chǎn)生的應(yīng)計(jì)利息累積與趨勢(shì)線模型的應(yīng)計(jì)利息累積結(jié)果之間存在殘差，跟蹤誤差（Tracking Error）即描述殘差部分的隨機(jī)變化，跟蹤誤差可以用下面的公式近似獲得：

有了趨勢(shì)線波動(dòng)率和跟蹤誤差之后，我們可以計(jì)算出在不同的投資期限N時(shí)，久期規(guī)劃策略投資收益的總波動(dòng)率：

圖5 久期規(guī)劃策略收益的總波動(dòng)率（D=5年，，單位：%、年）

在圖5中我們可以看出，一個(gè)久期目標(biāo)為5.0的久期規(guī)劃投資組合的投資收益總波動(dòng)率由第1年時(shí)的4%，逐漸減小至第3年的1.8%和第4年的1.38%。在第8年時(shí)總波動(dòng)率達(dá)到最小值0.84%。

中債指數(shù)的策略應(yīng)用

為了驗(yàn)證久期規(guī)劃策略在債券指數(shù)化投資中的收益率收斂效果，筆者選取了中央結(jié)算公司編制的六支債券指數(shù)進(jìn)行測(cè)試：分別是中債-綜合指數(shù)、中債-中短期債券指數(shù)、中債-長(zhǎng)期債券指數(shù)、中債-固定利率金融債指數(shù)、中債-浮動(dòng)利率金融債指數(shù)及中債-高信用等級(jí)中期票據(jù)指數(shù)。

（一）中債-綜合指數(shù)策略應(yīng)用

圖6 中債-綜合指數(shù)平均市值法久期