數(shù)學(xué)歸納法淺談

數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，利用數(shù)學(xué)歸納法可以解決一些相對比較復(fù)雜的問題。同時(shí)，歸納法在數(shù)學(xué)研究中發(fā)揮了重要的作用，它是有著豐富內(nèi)涵的思想工具，有著其他方法所不能替代的作用。華羅庚先生在《數(shù)學(xué)歸納法》一書中指出：“數(shù)學(xué)歸納法正是體現(xiàn)了人的認(rèn)識從有限到無限的飛躍。”人類為了把握無限到有限的飛躍，離不開數(shù)學(xué)歸納法。本文從數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ)著手，闡述了歸納法的原理及其表現(xiàn)形式，繼而分析了歸納步驟的證明思路，提出一些粗略的認(rèn)識，供大家研究探討。

一、數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展到應(yīng)用幾乎經(jīng)歷了整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，是一段漫長的歷史。16世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家莫羅利科（F·Maurolycus）對與自然數(shù)有關(guān)命題的證明進(jìn)行了深入的研究，明確地提出了“遞歸推理”這個(gè)思想方法。法國數(shù)學(xué)家R.帕斯卡（Pascal）在他的《論算術(shù)三角形》中首次使用數(shù)學(xué)歸納法，對莫羅利科提出的遞歸推理思想進(jìn)行了提煉和發(fā)揚(yáng)。并用其證明了“帕斯卡三角形”口項(xiàng)展開式系數(shù)表，中國稱為“賈憲共角性”或“楊輝三角形，”等命題。但“數(shù)學(xué)歸納法”這一名稱的提出，最早見于英國數(shù)學(xué)家A德·摩根1838年所著的《小百科全書》的引言中。他指出“這和通常的歸納程序有極其相似之處”，故賦予它“逐次歸納法”的名稱。

雖然數(shù)學(xué)歸納法早就被提出并廣泛應(yīng)用了，一直以來它的邏輯基礎(chǔ)都是不明確的。1889年意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（GYeano）建立了自然數(shù)的序數(shù)理論，將“后繼”作為一種不加定義的基本關(guān)系，列舉了自然數(shù)不加證明的五條基本性質(zhì)，其中歸納公理便為數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)。至此，數(shù)學(xué)歸納法有了嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)，并逐漸演變?yōu)橐环N常用的數(shù)學(xué)方法。

二、數(shù)學(xué)歸納法的原理

用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)命題時(shí)，必須包括下面兩個(gè)步驟：

第一步：驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值（如n=1）時(shí)命題成立；

第二步：假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

完成了這兩個(gè)步驟，就可斷定命題對一切自然數(shù)都成立。這里的第一步稱為奠基步驟，是命題論證的基礎(chǔ)：第二步稱為歸納步驟，是判斷命題的正確性能否從特殊推廣到一般的依據(jù)。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可。如果只有奠基步驟而無歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而論斷的普遍性是不可靠的。反之，如果只有歸納步驟而無奠基步驟，那么歸納步驟中的假設(shè)（簡稱歸納假設(shè)）就失去依據(jù)，從而使歸納步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結(jié)果也是建立在不可靠的基礎(chǔ)上的，所以仍然不能斷定原命題是否正確。初學(xué)者對于上述思想往往缺乏深刻的認(rèn)識，對用數(shù)學(xué)歸納法證題，總覺得不大放心，以為這種證法流于形式，證與不證似乎沒有什么兩樣。這種疑慮是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的絆腳石。只有弄清實(shí)質(zhì)，理解原理，才能學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法。

三、數(shù)學(xué)歸納法的標(biāo)準(zhǔn)形式

由歸納公理，立刻可以得到，設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若

1°（奠基）p（n）在n=1時(shí)成立；

2°（歸納）在到p（k）（k是任意自然數(shù)）成立的假定下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)都成立。

這就是數(shù)學(xué)歸納法的標(biāo)準(zhǔn)形式通常稱作第一數(shù)學(xué)歸納法。

適當(dāng)變換第一數(shù)學(xué)歸納法中奠基與歸納步驟中的內(nèi)容，有第一數(shù)學(xué)歸納法的基本變形。

設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n（n≥n°，n°∈N）的命題，若

1° p（n）在n=n°時(shí)成立；

2°在P（k）（k是不小于n°的自然數(shù)）成立的假定下可以推出P（k+1）成立，則p（n）對不小于n°的一切自然數(shù)都成立。

設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若

1°p（n）在n=1，2…時(shí)成立；

2°在P（k）（k是任意自然數(shù)）成立的假定下可以推出P（k+l）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立。

能否改變第一數(shù)學(xué)歸納法中歸納假設(shè)的內(nèi)容，例如在一些情況下，可以假定n≤k成立，代替假定n=k成立。

四、歸納步驟的證明思路

用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，關(guān)鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關(guān)鍵，又在于合理應(yīng)用歸納假設(shè)。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的。就中學(xué)教材而論，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題大致有兩種類型。

1.能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的。證明這類問題時(shí)，通常在歸納假設(shè)的兩邊同加（或同減）某項(xiàng)，通過適當(dāng)變換完成證明，對于這種類型的題目，在中學(xué)的課本中是比較常見的。

2.不能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的。這類命題解題時(shí)，一般通過下面兩種途徑，為應(yīng)用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件：（1）先將n=k+l帶入原式，然后將所得表達(dá)式作適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而證得結(jié)論；（2）利用其他數(shù)學(xué)知識，建立P（k）（第k號命題）與P（k+1）（第k+l號命題）的聯(lián)系，從而得到結(jié)論成立。對于這種類型題目在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，特別是在高考大題中的出現(xiàn)概率是比較高的。

五、運(yùn)用“多米諾骨牌效應(yīng)”模型，建立直觀具體的形象

多米諾骨牌是理解數(shù)學(xué)歸納法的最好模型。人類的許多（游戲）活動也充分展示了數(shù)學(xué)歸納法中重要的遞推特征。如中國古代的烽火臺，在古代，沒有現(xiàn)代通訊技術(shù)，中國只能通過烽火臺一個(gè)接一個(gè)的接力傳遞，把發(fā)生敵情的緊急消息傳遞給王府，從而贏得寶貴時(shí)間，從容應(yīng)對敵人。中國人逢年過節(jié)、喜慶熱鬧之時(shí)放的長長鞭炮，也形象地表現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法的重要特征：遞歸關(guān)系。還有我們喜聞樂見的多米諾骨牌，也形象地表征了遞推關(guān)系。據(jù)記載，英國邁克·凱尼曾經(jīng)用了169713塊骨牌豎立了6900米長的骨牌長龍，即多米諾骨牌。在眾人面前，他輕輕推倒第一塊，出現(xiàn)了連鎖反應(yīng)，半小時(shí)內(nèi)6900塊多米諾骨牌紛紛倒下，全場轟動，創(chuàng)下了一項(xiàng)多米諾骨牌的吉尼斯紀(jì)錄。而后，美國約翰·維克漢和埃勒絲·克萊恩花了35天用了255389塊骨牌，擺下了壯觀的多米諾骨牌，電視臺直播了長達(dá)53分鐘多米諾骨牌傾倒的過程，氣勢壯觀，創(chuàng)下了多米諾骨牌的團(tuán)體紀(jì)錄（夏興國，1993）。

綜上所述，數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與自然數(shù)有關(guān)命題的極為科學(xué)有效的方法，縱觀科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的當(dāng)今時(shí)代，我們對數(shù)學(xué)歸納法的研究已經(jīng)取得了很大的進(jìn)步，通過數(shù)學(xué)歸納法，我們可以從個(gè)別事實(shí)中找出一般性規(guī)律，但對于它的更加優(yōu)越的性質(zhì)和更廣泛的應(yīng)用仍需要我們繼續(xù)努力鉆研。因此，了解數(shù)學(xué)歸納法發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的歷史，是我們掌握數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)；對數(shù)學(xué)歸納法的基本原理的準(zhǔn)確理解，是我們運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題的關(guān)鍵。