考研高等數學中概率統計試題分析

摘 要： 本文分析了概率論與數理統計的內容和題型，對其難度系數進行了打分；通過對難度系數的剖析，說明了概率論與數理統計部分的解答題（22分）常考的范圍，便于考生復習時抓住重點，對于考研的同學有一定的指導作用.

關鍵詞： 概率論與數理統計 研究生考試 高等數學

在考研的高等數學中，滿分是150分，概率論與數理統計的內容，34分，占大約22.7%，其中選擇題8分（兩小題），填空題4分（一小題），解答題22分（兩大題）；本文對于概率論與數理統計的內容，根據公式（或概念）的難度，將其難度劃分為若干等級，進行打分；對于題型，根據解題時所用的知識點的多少，也將其難度劃分為若干等級，進行打分.最后，根據這兩個等級，對難度系數進行綜合打分.具體解釋如下：

對于公式，根據其難度，分為三個等級，其難度系數分布賦予1、1.5、2.比如，古典概型的公式，P（A）=，其中n為事件A的樣本點數，n為樣本點總數，該公式很簡單，難度系數定義為1；再比如，全概率公式，比較復雜，難度系數定義為1.5；至于連續型隨機變量（簡記為r.v）的條件密度公式f（y|x）=，其中f（x，y）是連續型隨機變量（隨機變量簡記為r.v）（X，Y）的聯合密度函數，f（x）為（X，Y）關于X的邊緣密度函數，即使f（x，y）和f（x）都求出了，用條件密度公式f（y|x）=時，還需要考慮兩者的公共定義域，因此難度系數規定為2.

對于有關概念，也根據其難度，分為三個等級，其難度系數也分布賦予1、1.5、2.比如：獨立性概念，比較簡單，難度系數定義為1；再比如，t-分布的定義，涉及一個標準正態分布和一個？掊-分布，且還要求獨立，涉及的內容較多，難度系數規定為1.5；至于極大似然估計的概念，比較難理解，且離散時和連續時，其似然函數還不一樣，故難度系數規定為2.

對于題型，根據其解題時所用到的知識點的多少，對其難度進行打分.所用的知識點多，難度系數就高，比如：古典概型的計算；一般只用到排列與組合的知識，難度系數定義為1；再比如：涉及極大似然估計的題，解題時要用到求導數的知識，解方程的知識，故難度系數定義為2，有時還需驗證無偏性，因此難度系數定義為≥2.

對于所用的知識點，也根據知識的難易和運算量進行打分，比如：對于一般的積分，難度系數規定為1；對于積分且需要討論的，難度系數規定為1.5；對于在一個題目中，多次用積分運算的，比如：對于連續型r.v方差的計算，其難度系數也定義為1.5.

下面我們分析概率論與數理統計的主要內容和題型，對其綜合難度系數進行如下分析.

難度系數表

近年來，研究生考試中，解答題22分（兩大題），基本上是考查學生綜合運用知識的能力，這類考題其綜合難度系數一般，下面針對近年來的試題作具體分析：（下面的1—10題，見文獻[1].11—12題，見文獻[2]）.

1.（2007年數學一、三（23），11分）設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為

f（x，y）=2-x-y，0

（1）求P{X>2Y}；（2）求Z=X+Y的概率密度f（z）.

難度分析：求概率，用積分，難度系數為1；求二維隨機變量的函數的密度函數，公式難度系數1.5；再用積分計算，且涉及討論，難度系數為1.本大題的難度系數為3.5.

2.（2007年數學一、三（24），11分）設總體的概率密度為

f（x；θ），0

其中參數θ（0<θ<1）未知，X，X，...X是來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值.

（Ⅰ）求參數θ的矩估計量；

（Ⅱ）判斷4是否為θ的無偏估計量，并說明理由.

難度分析：求矩估計量，難度系數為3.5，再驗證無偏性，難度系數1，本大題綜合難度系數為4.5.

3.（2008年數學一、三（22），11分）設隨機變量與相互獨立，X概率分布為P{X=i}=（i=-1，0，1），Y的概率密度為f（y）=1，0≤y≤10，其他，記Z=X+Y

（1）求P{Z≤|X=0}；

（2）求Z的概率密度.

難度分析：求條件概率，難度系數為2.5；求隨機變量函數的分布，難度系數為3，綜合難度系數為5..5.

4.（2008年數學一、三（23），11分）X，X，...X是總體為N（μ，σ）的簡單隨機樣本.記=X，S=（X-），T=-S，

（1）證T是的無偏估計量；

（2）當μ=0時σ=1時，求DT.

難度分析：證明無偏性，需要求期望，難度系數為3，再求方差，難度系數為1，綜合難度系數為4.

5.（2009年數學三（22），11分）（22）（本題滿分11分）

設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=e，0

（I）求條件概率密度f（y|x）；

（II）求條件概率P=[X≤|Y≤1].

難度分析：求條件密度，難度系數為3；再求條件概率，用積分，難度系數為1，綜合難度系數為4.

6.（2009年數學一、三（23），11分）袋中有一個紅球，兩個黑球，三個白球，現有放回的從袋中取兩次，每次取一球，以X，Y，Z分別表示兩次取球的紅、黑、白球的個數.

（Ⅰ）求P{X=1|Z=0}；

（Ⅱ）求二維隨機變量（X，Y）的概率分布.

難度分析：求條件概率，難度系數為2.5；求聯合概率分布，難度系數為1，綜合難度系數為3.5.

7.（2010年數學一、三（22），11分）設二維隨機變量的概率密度為

f（x，y）=Ae，-∞

求常數A及條件概率密度f（y|x）.

難度分析：求常數，用積分，難度系數為1；再用積分求邊緣密度，難度系數為0.5；最后求條件概率密度，難度系數為2.綜合難度系數為3.5.

8.（2010年數學三（23），11分）箱中裝有6個球，其中紅、白、黑球的個數分別為1、2、3個.現從箱中隨機地取出2個球，記X為取出的紅球個數，Y為取出的白球個數.

（1）求二維隨機變量（X，Y）的概率分布；

（2）求Cov（X，Y）.

難度分析：求二維隨機變量（X，Y）的概率分布，難度系數為2；求Cov（X，Y），公式難度系數為1.5；綜合難度系數為3.5.

9.（2011年數學一、三（22），11分）設與的概率分布分別為

且P（X=Y）=1.求：

（1）（X，Y）的分布；

（2）Z=XY的分布；

（3）X與Y的相關系數ρ.

難度分析：求（X，Y）聯合分布律，難度系數為2；求隨機變量函數的分布律，難度系數為2；求相關系數，難度系數為1.5；綜合難度系數為5.5.

10.（2011年數學三（23），11分） 設在G上服從均勻分布，G由x-y=0，x+y=2與y=0圍成.

（1）求邊緣密度f（x）；

（2）求f（x|y）.

難度分析：求連續型隨機變量（X，Y）的條件概率密度，綜合難度系數為4.

11.（2013年數學三（22），11分）設（X，Y）是二維隨機變量，X的邊緣概率密度為f（x）=3x，0，其他，

在給定X=x（0

（1）求（X，Y）的概率密度f（x，y）；

（2）求Y邊緣概率密度f（y）；

（3）求P（X>2Y）.

難度分析：已知邊緣密度f（x）和條件密度f（y|x），求（X，Y）的概率密度f（x，y），難度系數為1；求邊緣概率密度，用積分且討論，難度系數為1，5；求概率，難度系數為1.綜合難度系數為3.5.

12.（2013年數學三（23），11分）設總體X的概率密度為f（x，θ）=e，x>00，其他，

其中θ為未知參數且大于零.X，...X為來自總體X的簡單隨機樣本.

（1）求θ的矩估計量；

（2）求θ的極大似然估計量.

難度分析：求的矩估計量，難度系數為3.5；求的極大似然估計量，難度系數為3.5.綜合難度系數為7.

從上面的分析可見，解答題的試題都是出現在難度系數≥3.5的部分.因此，同學們在考研復習時，要重點復習難度系數表中綜合難度系數≥3.5的內容.至于填空題和選擇題，主要考查同學們對基本概念的理解及一定的綜合運算能力，只要按照大綱給定的內容認真進行復習就可以了.

參考文獻：

[1]王松桂，張忠占，程維虎等人.概率論與數理統計（第三版）[M].科學出版社，2011：238-240.

[2]2013年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題.中國教育在線.www.edu.cn.