高中數學幾何模型的應用

摘 要： 幾何模型是數學建模的重要工具，它是針對具體實物建立起來的，即可在生活中找到原型，其目的是為了解決實際問題.合理使用幾何模型將使原本復雜的問題簡單化，有事半功倍的作用.它的應用非常廣泛，本文從平面幾何、立體幾何、解析幾何三個方面入手，分析如何建立幾何模型，并通過例題闡述幾何模型所涉及的若干數學思想.

關鍵詞： 數學模型 數學建模 幾何模型 數形結合

在豐富多彩、變化萬千的世界里，人們經常創建出現實物體的近似結構，作為原型的替代物，并稱之為模型.而數學模型則是由數字、字母或其他數學符號組成的，描述現實對象數量規律的數學公式、圖形或算法.但建立數學模型并非以模型為目標，而是為了解決實際問題.

在生產和生活中的空間物體的結構是極其復雜的，要將其轉化為數學模型問題，首先要對空間物體進行簡化和假設，并把空間圖形“抽象”出來.如一座山，不看其表面的山棱巖石，而將其“輪廓”抽象出來，其“輪廓”就是錐體.其次要善于歸類，一個幾何問題，往往可以從不同的角度加以研究，從學科的角度出發，就可分為平面幾何、立體幾何、解析幾何.所以幾何模型的應用是很廣泛的，地位是舉足輕重的.下面我就從平面幾何、立體幾何、解析幾何三個方面介紹幾何模型的具體應用.

一、平面幾何數學模型

利用數與形的相互依賴和相互轉化的關系發掘平面幾何圖形的形象、直觀、具體等特性，以及圖形的優美性質，是我們借助平面幾何模型處理代數、三角、平面幾何等問題的關鍵.

例1：運用直觀幾何能幫助理解、解決有關代數的問題，利用具體操作說明與變量有關的代數概念.

思考：畫一個正方形，在這個正方形底邊上的某處做一個記號把底邊分成兩段，左邊的一段記為a，右邊一段記為b，類似地分正方形其他各邊，如圖所示.問：下邊的哪些性質可用圖表現出來？這里a，b都是正數，且a>b.

（1）（a-b）（a-b）

（2）（a-b）（a+b）

（3）（a+b）（a+b）

（4）（a+b） （你將需要想象一個三維物體）

分析：考慮計算這個正方形面積的各種方法，當正方形的邊長為（a+b）時，面積為（a+b）（a+b）.它是由面積為a和b的兩個小正方形和面積為ab的兩個長方形組成，即（a+b）（a+b）=a+b+2ab.

由此可見，（a+b）表示棱長為（a+b）的正方體的體積，等于底面積乘以高，即（a+b）=（a+b+2ab）（a+b）=a+b+3ab+3ab.

圖中陰影為邊長（a-b）的正方形，其面積為（a-b）（a-b），它是由面積為a的正方形減去兩個面積為（a-b）b和一個面積為b的小正方形，即（a-b）（a-b）=a-2b（a-b）-b=a+b-2ab.

而（a-b）（a+b）表示的面積是由陰影部分的正方形面積與兩個面積為（a-b）b的小長方形的和，即（a-b）（a+b）=（a+b-2ab）+2b（a-b）=a-b.

二、立體幾何數學模型

同一個數學問題，往往可以從實際生活中獲取相類似的原型，并且可以化歸為相同模型去解決.在研究此問題之前，我們先做下面的實驗：用兩張相等的長方形紙張，分別沿長邊和短邊卷成圓柱體，用膠布將接頭不重疊粘住，分別計算出圓柱體的側面積.可以很快得出：S=S.

判斷兩圓柱體體積的大小，并計算出來.通過實驗，我們可以得到一個結論：側面積相同的兩個圓柱體，其體積不一定相同.

由此，我們可聯想到各種圓柱體形狀的罐裝飲料，這些飲料年產量高達幾百萬罐，甚至更多.那么考慮在相同的工藝條件和保證質量的前提下怎樣節省用料的問題，從而降低生產成本.

例2：怎樣使飲料罐制造用材最省.

分析：把飲料罐假設為正圓柱體，雖然有很多的飲料罐不是這樣的，這樣的假設是合理、近似的簡化.設飲料罐的體積V，高為h，底面半徑為r，制罐鋁材厚度為b，在諸多因素中，暫時不考慮制造工藝中要求的折邊長度.

解：因為每罐飲料的體積是一樣的，所以可以把V看成一個常數，有V=πrh.

又由于易拉罐上底的強度大一些，厚度是其他部分厚度的3倍，因而制罐用材的總面積為S=3πrb+πrb+2πrhb=（4πr+2πrh）b.

故飲料罐的總面積就只與h，r有關，把h=代入S，得S=S（r）=2πb（2r+）.

則用料最省的問題就轉化為求半徑r使得S（r）達到最小的問題，通過計算得出飲料罐高h為半徑r的4倍.

事實上，當我們拿可口可樂、百事可樂罐測量時，圓柱體的高與底面半徑的比幾乎與上述結果一致.

三、解析幾何數學模型

平面解析幾何模型主要包括了曲線系模型，如雙曲線、拋物線、橢圓等各種曲線的應用模型.

例3：在相距為10a（其中a為聲速）的A、B兩處觀察所中聽到同一爆炸聲的時間差為6秒，且記錄顯示了B處的聲強是A處的4倍（聲強與距離的平方成反比），試確定爆炸點到兩觀察所的中點的距離.

分析：如圖，以AB的連線為x軸，AB間的中點為原點O作直角坐標系，從爆炸點到兩點的距離差值可以把它抽象為雙曲線解析幾何模型.

解：假設爆炸點為P，由題意有

||PA|-|PB||=6a，|AB|=10a，

|PA|=4|PB|，即|PA|=2|PB|，

則雙曲線的模型為-=1且爆炸點P在雙曲線上.

綜合以上條件，解得P點的坐標為a，a.

故爆炸點P到兩觀察所AB的中點O的距離|PO|=.

換一個角度思考，當我們把兩個觀察所A、B和爆炸點P連線成為一個三角形，此問題也可轉化為三角模型問題.

在中學里學習與建立幾何模型，涉及許多的數學思想，綜合上面的例子，現總結出若干要點如下。

1.一個幾何問題可以是純粹的數學問題，也可以是現實的數學問題，總可以從現實世界中找到問題的原型.如例2，在定體積的條件下，求解空間物體最小的總面積.只有把生活問題數學化，體現生活中的數學，才能引發學生的學習興趣.

2.由于幾何問題的復雜性，解決一個數學問題可以有各種不同的角度，如例3，用解析幾何模型求距離的問題在某種情形下也可轉化為三角模型問題.

3.從橫向的觀點看，幾何問題與其他的數學知識是相互聯系、相互轉化的.一個幾何模型，可以用方程、不等式、函數等知識來解決；相對的，一個數學問題也可以通過建立幾何模型來表示，如例1用圖形面積表示代數式.

4.數形結合的思想是幾何模型的最大的特色，建立幾何模型正是對空間物體的抽象概括，用圖形代替實物結構，把實際問題數學化.上述各例都是數與形的轉化與結合.