也談高中學生數學概念的獲取及應用

數學概念是建構數學體系的基礎，清晰完整地理解概念的內涵、外延有利于學生透徹把握相關數學問題的本質，快速準確地找到解決數學問題的方法，提高解題能力。

目前高中數學教學基本采用兩年新授一年復習的模式，高一高二教學任務重時間緊，教育主管部門階段性調研測試多，學校對教師考核主要看學生考試成績，導致一線教師在新授課時概念教學多以告知形式呈現，將教學時間多用于解題訓練。采用這種做法，短時間內學生考試水平會有所提高，但由于忽視數學概念產生、發展中蘊含的大量數學思想方法，學生對概念的模糊嚴重制約學生的發展，瓶頸效應使學生解決許多問題時思維僵化，難以達到企及的高度。只有了解掌握了數學概念的形成、發展及本質，才能更好地幫助學生落實雙基，認清數學思想及本質，從而發展學生思維，提高解決問題的能力。

根據多年的教學體悟，筆者認為可以從以下幾方面入手幫助學生建構數學概念，提高解題能力。

一、通過創設最能展示概念建構過程的問題情境（生活情景或知識情景），給足學生思維發展的時間，讓學生在概念發展的自然進程中理解掌握概念，拓展思維。

數學概念的形成經歷漫長的發展階段，如果僅以告知的形式，則學生難以理解概念的本質，體悟其中蘊含的思想方法。例如函數概念，其實初中、高中沒有本質區別，都是從實數集的子集通過某個函數映射到實數集的子集，只是映射的函數不同。初中從運動變化過程中涉及兩個變量入手研究它們的關系，高中只不過用集合重新表述而已。教學中可以引導回憶初中函數概念，結合具體函數給出定義域、值域、對應關系等概念，以后引導學生用集合觀點表述函數的概念，一切水到渠成。

二、知識來源于生活，很多知識的產生實際是應用產生困惑時的產物，教學時可以創設已有知識基礎上難以解決的問題情境，使學生在自我探求中獲得新的知識。

如學生已經具備一元方程的知識，如果題設中引進多個變量如何處理呢？學困中尋求轉化，通過消元化未知為已知得到多元高次方程（不等式）組的解法。例如，2011年江蘇高考填空第13題：設1=a≤a≤…≤a，其中a，a，a，a成公比為q的等比數列，a，a，a成公差為1的等差數列，則q的最小值為 。

【分析】由題意知1≤a≤q≤a+1≤q≤a+2≤q。由q≥a求q的最小值，只要求a的最小值。而a的最小值為1，所以有q≥1q≥2q≥3，從而q≥。本題利用等差數列，等比數列基本量之間的關系消元，得到a和q的不等關系，再利用不等式的性質消去a，最終得到關于q的一元不等式組，然后求解。

三、通過常見數學思想如類比遷移結構或同化概念。

許多知識之間聯系緊密，甚至結構形式、研究內容、應用拓展范圍等幾乎一致，在學生已有一種知識前提下，教師通過適當指導對比激發學生的探求欲望，往往學生能水到渠成地自主構建知識體系。例如，在學生已掌握等差數列的定義、通項公式、求和公式、性質之后，教師通過生活情景歸納出幾組等比數列，要求同學們尋找它們的共同特征，從而抽象出等比數列的定義，則學生類比自主研究，通項、求和、性質、應用，一切迎刃而解。

四、通過多角度的應用鞏固數學概念。

通過應用不斷拓展概念的外延使學生對概念的了解不斷深入。知識來源于實踐又服務于實踐，通過不同側面、不同角度、不同題型的應用，學生對概念有深刻的認識，應用也會得心應手。其實許多概念公式的得出過程本身蘊含著豐富的數學思想、方法，在應用概念解題中也起著重要作用。例如：推導等差、等比數列前n項和公式的倒序相加法、乘公比錯位減法在后續解決問題時應用廣泛。

五、通過變式訓練、一題多解整合知識，理解概念的本質。

例如，已知扇形AOB半徑OA=OB=1，∠AOB=120°，P為弧AB上一動點且=x+y，求x+y的最大值；

在教學向量加法的平行四邊形法則時可以將沿基向量，方向分解成=+，條件集中到△POM中，通過余弦定理利用基本不等式求最大值；

在教學向量數量積·=||·||cos∠AOB后，可以引導分析在=x+y兩邊點乘和，引進∠AOP=θ轉化為三角問題求解，或兩邊平方轉化；

在教學向量的坐標運算后，可以通過建立平面直角坐標系，引進∠AOP=θ利用坐標運算轉化為三角問題求解；

在教學向量性質：若=λ+μ，則點Q，A，B三點共線的充要條件是λ+μ=1，后引導分析=x+y的特點，連接A，B交OP于Q，令=m，則問題轉化為=mλ+mμ，從而x+y=mλ+mμ=m（λ+μ）=m==，問題解決。

教學有法，但無定法，貴在得法，數學概念是構建數學知識體系大廈的基石，基礎不牢則學生數學素養達不到應有的高度，教師普遍追求的高考高分的目標將很難實現。期待我們的課堂教學回到基礎知識和基本數學思想的舞臺，遠離枯燥乏味的題海戰術，課程標準提出的提高所有學生數學素養的要求一定會達到。

參考文獻：

[1][美]丹尼爾·平克.全新思維.北京師范大學出版社，2006，6.

[2]M.克萊因.數學：確定性的喪失.湖南科學技術出版社，2001，7.

[3]章建躍.中學數學核心概念結構體系及教學設計研究與實踐.課題中期研究報告.