關于在高中數(shù)學課堂教學中切入數(shù)學建模的探索

摘 要： 生活中處處存在著數(shù)學，處處存在著要用數(shù)學解決的問題。本文通過對實際例子建立數(shù)學模型，介紹了在高中數(shù)學教學中切入數(shù)學建模的方法。文章的主題在于怎樣在數(shù)學課堂教學中切入數(shù)學建模的探索，從而調(diào)動學生的探索欲望和學習欲望，使學生處于主動探索的積極狀態(tài)，培養(yǎng)數(shù)學建模的意識，認識數(shù)學建模的重要性。

關鍵詞： 高中數(shù)學教學 數(shù)學建模 切入

在數(shù)學考試中，通常以考核學生的知識水平為第一要務。正確的數(shù)學價值觀和情感因素難以考核，因此常常被排斥在考試之外。在以入學考試成績作為準入標準的情況下，數(shù)學教學異化為解題技術的教學。學了數(shù)學不知數(shù)學的本質(zhì)，不能掌握數(shù)學的思想方法，許多學生成了解題的“機器”。

然而，數(shù)學建模教學有利于學生形成正確的價值觀和數(shù)學觀。根據(jù)中學生特點，在中學階段，數(shù)學建模解決的實際問題多是虛擬的現(xiàn)實問題即中學應用題。實踐表明，數(shù)學建模思想對培養(yǎng)中學生觀察力、想象力、邏輯思維能力、解決實際問題的能力起到了很好的作用。因而這需要教師在平時的數(shù)學課中配合教材適時滲透數(shù)學建模思想，達到“潤物細無聲”的效果。

一、聯(lián)系實際，切入數(shù)學建模，激發(fā)學習興趣

數(shù)學建模的問題來源于具體的生活情境，學生在參與并完成數(shù)學建?；顒又埃仨毦哂懈鞣N更為基礎的知識與能力，這就有賴于課堂教學過程中數(shù)學建模的切入。所謂“切入”，一方面是指教師在平常教學中導入數(shù)學建模思想與方法，另一方面是指教師通過問題解決的過程分解，把一些較小的數(shù)學建模問題，放到正常教學的局部環(huán)節(jié)上進行指導。那么怎樣才能在課堂教學過程中切入數(shù)學建模教學呢？數(shù)學教學說到底實際上就是教給學生前人給我們構建的一個個數(shù)學模型和怎樣構建模型的思想方法，以使學生能運用數(shù)學模型解決數(shù)學問題和實際問題。

具體地講，數(shù)學模型方法的操作程序大致上為：

實際問題→分析抽象→建立模型→數(shù)學問題

↑ ↓

檢驗 ← 實際解 ← 釋譯 ← 數(shù)學解

下面我就用幾個例子來說明。

例1：學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學參賽，兩次運動會都參賽的有3人，兩次運動會中，這個班共有多少名同學參賽？

分析：這是一道典型的集合問題。如果設A為田徑運動會參賽的學生的集合，B為球類運動會參賽的學生的集合，那么A∩B就是兩次運動會都參賽的學生的集合。再根據(jù)題目的已知條件，我們可以畫出圖來，通過圖形，我們就很清楚地知道答案就是：5+9+3=17。這樣，我們不是局限在死板的數(shù)學題上，而是讓學生結合生活中的數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，強化學生的應用意識。其實對于抽象的數(shù)學問題，我們都可以引導學生結合生活的認識去建立數(shù)學模型。只要我們做有心的教育者，精心設計，課本中的數(shù)學問題大都可挖掘出生活模型，逐步滲透數(shù)學建模這方面的訓練，就可以使學生形成自覺地把數(shù)學當做工具來用的意識，哪還用擔心學生再成為解題的“機器”？我們再來看看下面幾道題。

例2：已知：a，b，m∈R，且a<b，求證：

分析：這是一道常見的不等式證明。如果在課堂教學中我們還是采取平鋪直敘地就事論事的方法進行授課，就顯得過于單調(diào)、乏味，學生也會不感興趣，不會投入精神去聽。為了顯示出這個所證的不等式在現(xiàn)實生活中的應用，以提高學生的學習興趣，并培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，我們不妨從這樣的建模材料中引入。

建筑學上規(guī)定：建筑的采光度等于窗戶面積與房間地面的面積之比，但窗戶面積必須小于地面面積，采光度越大說明采光條件越好?，F(xiàn)在問增加同樣的窗戶面積與地面面積后，采光條件是變好了，還是變差了，說明理由（設窗戶面積為a，地面面積為b，增加面積為m）。這不就輕輕松松地達到激發(fā)學生求知的欲望，培養(yǎng)學生用數(shù)學知識去觀察、分析、提出和解決問題的能力，通過解決實際問題（建模過程）去理解相應的數(shù)學知識的目的了嗎？因此數(shù)學課堂教學中建模能力的培養(yǎng)必須與相應的數(shù)學知識學習結合起來。我們再看看下面這道題：

例3：證明sin5°+sin77°+sin149°+sin221°+sin293°=0.

分析：此題若作為“三角”問題來處理，當然也可以證出來，但過程必定較為繁瑣。教學既要重視對“數(shù)學建?！边^程中的問題提出的基本背景進行分析，又要重視“數(shù)學建模”中數(shù)學基礎知識的靈活轉(zhuǎn)化和應用（即數(shù)學是怎樣回到實踐中去的）。因此，我們可以指引學生慢慢從題中的數(shù)量特征來看，首先讓學生去注意發(fā)現(xiàn)，為什么這些角都依次相差72°？而且又剛好有五個角，5×72°=360°，不就剛好是一個多邊形的內(nèi)角和嗎？從而讓學生聯(lián)想到正五邊形的內(nèi)角關系，由此構造一個正五邊形（如圖），再根據(jù)向量的線性運算：

這里，正五邊形作為建模的對象恰到好處地體現(xiàn)了題中角度的數(shù)量特征，反映了學生敏銳的觀察能力與想象能力。如果沒有一定的建模訓練，是很難“創(chuàng)造”出如此簡潔、優(yōu)美的證明的。在完成這道題后，我們可以再以題論題，提問學生：如果是六個角，每兩個角依次相差60°，結果會不會一樣？而要使結果一樣，當是七個角、八個角、甚至再多個角時，它們相應的應該相差幾度？可以留給學生作為課外活動去證明。正如泰勒指出的：具有豐富知識和經(jīng)驗的人，比只有一種知識和經(jīng)驗的人更容易產(chǎn)生新的聯(lián)想和獨創(chuàng)的見解。

二、在課堂上切入數(shù)學建模的方法總結和反思

1.在新知識的引入、復習課上，可以用一些時間來介紹一個數(shù)學建模問題，讓學生在課堂上僅僅通過討論完成問題提出與模型推斷，而把模型求解與模型檢驗放到課外完成。就如上述的例1，我們可以在課堂上以討論的方式把問題提出并進行推斷，再把求解過程放給學生到課外去探索、完成。

2.針對階段性的知識綜合來設置較為完整的數(shù)學建?；顒印栴}的選擇與設置應與學生生活密切相關，易引起學生關注，讓學生體會到數(shù)學與人們的密切關系，體會數(shù)學的應用價值。學生看到能用自己所學的知識切實解決生活中的問題，勢必進一步增強學習的信心和提高學習興趣。例2就是很好的例子。

3.在若干具體問題完成建模的基礎上，嘗試給出本類問題的一般建模策略。就如我們前面提到的例3，就是在讓學生完成問題的基礎上，再發(fā)散學生的思維，舉一反三，引導學生對題目進行同類改變后，又應該如何去建立模型，解決問題。

數(shù)學建模在中學數(shù)學課堂教學中的切入是教學的一個重要環(huán)節(jié)，建模能力是分析和解決問題能力不可缺少的組成部分，數(shù)學建模能力是解決實際應用問題的重要途徑和核心。而這個環(huán)節(jié)的教學就是要突出學生在中學數(shù)學教與學中的主體地位，激發(fā)學生的探索欲望和學習欲望，全方位地把數(shù)學建模的思想滲透到學生的數(shù)學學習中去，使學生始終處于主動參與、主動探索的積極狀態(tài)，不再是只會死板解決“純機械”問題的“機器”，而是有創(chuàng)新精神的復合型應用人才。

參考文獻：

[1]吳啟芳.中數(shù)建模的切入[J].寧德師專報，第17卷第2期.

[2]余秀萍.中學數(shù)學應引入數(shù)學建模教學[C].上海中學數(shù)學，2005（3）.