關于一道狹義相對論問題的探討

摘 要： 本文通過對一道狹義相對論問題的分析，總結出圓與橢圓的一種奇妙變換關系，同時指出培養學生直覺推測與嚴謹分析相結合的思維方式在教學中的重要作用.

關鍵詞： 狹義相對論 橢圓 圓 直覺推測

一、問題的提出

在《大學物理》課程的教學過程中，關于狹義相對論時空觀的教學既是一個重點又是一個難點，尤其是長度的收縮效應.筆者在教學實踐中發現，部分學生沒有真正地理解時間間隔和空間間隔的相對性，只是機械地應用相關結論，有的甚至不顧條件的亂用，以致得出錯誤的結論.從而如何引導學生理解和應用狹義相對論一直是大學物理教師經常探究的一個課題.

下面擬從一道典型的例題入手，討論如何正確理解及應用狹義相對論時空觀，同時指出培養學生直覺思考與嚴謹分析在教學過程中的重要性.

例題[1]：S系中xoy平面上靜止的圓面積為πr，在S′系中測得該圖形面積為多少？已知S′系在t=t′=0時與S系坐標軸重合，并以0.8c的速度沿公共軸x-x′運動.

一部分學生在解決這道題時，根本沒有正確理解狹義相對論時空觀，機械地應用長度收縮效應公式l=l，代入β=得出s=0.36πr的錯誤結論；還有一部分學生正確理解了狹義相對論時空觀，他們知道長度的收縮效應只發生在運動方向上，但是因數學工具掌握得不夠而望題興嘆，另一部分學生直覺地將該圖形視為橢圓，不嚴謹得出s=0.6πr的結論.下面我們將以科學直覺與嚴謹分析相結合的方式闡述這道例題.

二、問題的解決

1.直覺分析，所謂的直覺，就是通過對問題的深入分析，進而推測其可能具有某種相應的結論：如圖1所示，由狹義相對論的收縮效應可知，在運動參照系中該圓沿x軸方向的任意弦長均縮短為原來長度的=0.6倍，而y軸方向因與運動方向垂直而長度不變，憑直覺推測該圓在運動坐標系中看應該變換為長軸在y軸長度為2r，短軸在x軸長度為1.2r的橢圓，進而由橢圓面積公式s=πab得出s=0.6πr.雖然該結果只是推測，其正確與否尚需驗證，但是學生必須培養這種思考問題解決問題的良好習慣，因為直覺才是引導人去發現創新的源泉.

圖1

2.嚴謹計算：

如圖2所示，由狹義相對論知道，x軸方向的任意弦長度變為原來的0.6倍，縱坐標為h的弦長度極坐標表達式為1.2rcosθ，縱坐標h的極坐標表達式為rsinθ，故該圖形面積的微元ds=1.2rcosθd（rsinθ）=1.2rcosθdθ，θ是-到區間上的變元，由微積分得s=？蘩1.2rcosθd=0.6πr，至此我們發現直覺推測的計算結果是正確的，所以我們上面的直覺推測可能是正確的，但須給出證明.

圖2

3.證明：如圖2所示，由狹義相對論可知，該圖形上的任意一點，設其縱坐標y=h時，則橫坐標x=0.6，該點到（0，±0.8r）兩點距離之和為+，整理可得：==r-0.8h，同理可得==r+0.8h，即該圖形上任一點到（0，±0.8r）兩點距離之和等于2r，進而可知該圖形為橢圓，驗證了我們的直覺推測.

4.總結橢圓與圓的變換關系：由上述分析計算可知，當圓上任一點變換為y軸坐標不變，x軸坐標變為原來的α倍的點所形成的圖形是長軸在y軸短軸在x軸離心率為β的橢圓，其中0<α<1，α+β=1.

圖3

下面給予證明：如圖3所示，半徑為r的圓上任一點坐標為（，h）變換為（α，h），該點到（0，±βr）兩點距離和為+，其中α+β=1，則該點到（0，βr）距離為==r-βh，到（0，-βr）的距離為==r+βh，即該圖形上任一點到（0，±βr）兩點距離之和為2r，故該圖形是橢圓.由圓的對稱性可知，當x軸坐標不變，y軸坐標變為原來的α倍的點所得的圖形是長軸在x軸短軸在y軸離心率為β的橢圓.此外進一步分析可知，當α>1時則不能變換為長軸在x軸的橢圓.

三、結語

通過上述具體示例我們不僅發現了一個圓與橢圓的特殊關系，而且知道了正確理解狹義相對論時空觀及正確應用長度收縮效應公式在物理教學過程中頗為重要，同時指出培養學生的嚴謹分析和科學直覺的思維習慣十分重要.

參考文獻：

[1]楊建華等主編.大學物理（上）[M].蘇州：蘇州大學出版社，2009：99-100.

基金項目：數學天元青年基金項目（11226116）；南通大學引進人才項目（03080454）。