小班化教學中平面幾何說理能力的培養策略

目前小班化教學盛行，這是一種在班級人數較少的前提下有利于學生自主、合作、探究學習和個性充分發展的教育組織形式，學生在課堂上平均占有的時間成倍增加。師生之間、生生之間有更充分的時間進行討論和交流，有利于課堂互動的充分展開。可在幾何教學中彰顯其優勢，在互動中，充分發揮主體的積極性和創造性，暴露思維過程，促進學生自覺主動地將思維引向縱深處。教師在這樣的教學氛圍下，會為學生提供更多的質疑，表達自己獨立見解，以及動手實踐的機會，更有利于邏輯思維的培養。由此可見，小班化為課程改革創造了極為有利的條件，同時也為在幾何教學中培養學生的說理能力提供了優越的環境。下面我結合教學實踐和感悟，談談小班化教學中對平面幾何說理能力的培養策略。

一、入門階段

教師應該首先激發學生學習幾何的興趣，然后從概念、作圖、幾何語言的理解、表述和翻譯及推理技能的訓練等環節著手，重視邏輯思維能力的啟蒙，幫助學生打好學習幾何的基礎。這個階段要求學生學會用幾何語言說理，注意體會邏輯推理的表達方法。這樣一方面可以使學生鞏固和加深理解概念、公理和定理，另一方面讓學生初步了解推理是怎么一回事。

在平面幾何入門教學中要重點關注學生從“數”的學習轉入對“形”的研究階段的特點和變化方式，充分利用實驗幾何的教學方法和學習方法，引導學生由實驗幾何向理論幾何過渡，再培養學生用幾何理論進行說理論證的能力，逐步培養學生的邏輯推理能力，防止學生以直觀代替論證。為此，在小班化教學中教師可采用創設問題情境等方式，小步子、多層次，由易到難、由淺入深地逐步引發學生思考，調動學生學習的積極性，啟發學生觀察事物，突出概念的本質屬性與性質的運用，在此過程中要特別加強幾何符號語言的訓練。

二、模仿書寫階段

在舉例示范和學生填空練習的同時，補充少量的由兩步至三步推理組成的說明題，讓學生模仿著書寫，可組織巡批、組內批改、實物投影等靈活多樣的交流和糾錯方式。通過填空寫推理依據和簡單論證過程的反復交替練習，使學生能基本建構出對簡單的說明題進行說理的過程框架。

這一階段主要是通過定義、定理、平行線、全等三角形幾部分的教學來培養和逐步滲透的，使學生能正確地辨別出條件和結論，逐步明晰證明的步驟和書寫格式。通過閱讀教材中的每個例題，認真完成教材中的每一個練習，強調推理論證中的每一步都有根據，每一對“∵ ∴”都言必有據，都有定義、定理、公理作保證。此外，還要強化學生有意識地熟記一些幾何常用語和證明的“范句”、“范例”為搭建證明書寫步驟和格式做好準備。通過例題、練習訓練逐步總結出推理的規律，簡單概括為“從題設出發，根據已學過的定義、定理用分析的方法尋求推理的途徑，用綜合的方法寫出證明過程。”

現以證明“平行線第二個判定定理”為例剖析一下證明中的推理。

已知：直線AB和CD被EF所截，內錯角∠3與∠2相等，求證：AB∥CD.

分析：要證明AB∥CD，關鍵是設法把已知轉化為同位角來證明，而這個轉化要借用對頂角和等量代換，其推理過程如下：

第一個推理：對頂角相等（大前提）

∠1與∠3是對頂角（小前提）

所以∠1=∠3（結論）

第二個推理：在等式中，一個量可以用它的等量來代替（大前提）

∠1=∠3，∠3=∠2（小前提）

所以∠1=∠2（結論）

第三個推理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行（大前提）

∠1與∠2是相等的兩個同位角（小前提）

所以AB∥CD（結論）

可見，這一推導過程是由三個連貫的三段論式，即三項推理組成的。在實際書寫時，我們總是采用簡略的三段論式的形式：

∵∠3=∠2（已知）

∠1=∠3（對頂角相等）

∴∠1=∠2（等量代換）

∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）

經過上述剖析，學生容易了解每一個推理都是不可缺少的，在證明中都占有一定地位，它們構成證明的整體，就不致犯未作出同位角相等的判斷，就直接得出兩直線平行的判斷或將各個推理的順序不合理地顛倒過來的錯誤。

需要補充強調的是在代數學習中也要重視說理的教學。在初中代數中，含有較多的具有算法性質的內容，在小班化教學過程中注意把計算步驟與依據結合起來，在課堂上可多組織學生討論“算理”，使學生不僅知其然，更能知其所以然，培養學生“代數推理”的習慣與能力，也可為以后過渡到幾何推理打下良好的基礎。

三、獨立分析、證明較復雜圖形階段

這一階段主要通過相似圖形，圓與平行四邊形等特殊四邊形、正多邊形的結合教學來培養的。通過審題訓練使學生對題中的每個條件，包括求證的內容，一個一個地進行思考，按照定義、公理或定理“由已知想可知”將條件一步步推理聯想得出新的條件，延伸出盡可能多的條件，避免忽視有些較難找的條件，同時不要忽視題中的“隱含條件”，如圖形中的“對頂角”、“公共的邊和角”、“三角形內角和”、“三角形外角”等。

在幾何證明問題的分析過程中通常使用兩種邏輯思維方法：即綜合法和分析法。對于一些思維過程比較簡單的問題，采用分析法或綜合法都可以順利解決問題，但對于思維過程相對復雜的問題，單一地使用其中的一種方法會顯得蒼白無力。只有將二者結合起來，即從已知出發想可知、從結論入手想需知、結合圖形，尋找出問題的一個契合點，才能順利解決問題。

在這一階段對平面幾何說理題的教學中可采用“三步”教學法：1.做好說理鋪墊；2.進行解題思路訓練；3.善于歸納總結。在分析每一題時也分三步走：①讀題，分析題意。在小班化教學中可先請學生思考，一個學生口答，進行條件聯想，每個條件可以得到些什么結論，把結論都排列起來；大致梳理一下思路，看哪個結論對解決問題有利，再進行取舍。②畫出思路圖。根據剛才羅列的條件，前一個同學的想法，請兩個學生到黑板上畫思路圖，其他同學在下面畫；然后共同評析思路圖。③根據修正的思路圖寫出語句。兩個學生板演，其余學生寫在本子上，再評析。

此外，當學生經歷一定題目量的識圖訓練及變式訓練后，可在小班化教學中采用分組合作的形式總結出一些典型的常見的基本圖形備用。設計這樣的小班化活動可增強學生的圖感和歸納能力，便于以后在遇到較復雜圖形時產生將復雜的幾何圖形分解為一些基本圖形的意識。其實幾何中再復雜的圖形也是由一些基本圖形復合而成的。只要能夠善于發現基本圖形，并熟練掌握這些基本圖形的構成、形式及其性質，就能使模糊問題清晰化、復雜問題簡單化。幾何中每個定義、定理、公理都對應著一個基本圖形，除了掌握這些最基本的圖形外，還要掌握定義、定理、公理之外的常用圖形，例如：在八年級學生學習“相似圖形”時，可總結出以下3種常見的基本圖形：平行型、斜交型、垂直型。較復雜圖形如圖1包含了平行型（a），圖2包含了斜交型（b），圖3包含了垂直型（c），圖4包含了垂直型（d）。

當然，還有很多基本圖形，在此不一一列舉。利用這些基本圖形及其性質能比較有效地解決一些復雜問題，也有助于學生對較復雜圖形快速形成證明思路。

綜上所述，小班化平面幾何教學應緊扣教材，從最基本的內容入手。其目標是讓學生順利通過概念、圖形、語言（表達）、推理（思維）四道難關，達到對概念掌握結構，明確實質；對圖形辨認特征，熟悉性質；對語言表達準確，層次清楚；對推理思路清晰，邏輯嚴謹。在攻破這幾道難關的過程中始終不離概念、判斷、推理的過程，而概念、判斷、推理就是邏輯思維的基本形式，在小班化教學中對平面幾何說理能力的培養是一個緩慢的過程，不是學生“懂”了，也不是學生“會”了，而是學生自己“悟”出了道理、規律、思考方法等，因此要給學生提供探索交流的機會，組織、引導學生“經歷觀察、實驗、猜想、證明”等數學活動過程，并把推理能力的培養有機地融入這樣的“過程”之中，才能真正實現邏輯說理能力的形成和不斷提高。