方程、不等式與函數思想探討

摘 要： 本文從四個方面，利用方程、不等式與函數關系，通過函數與方程、不等式的轉化，不僅幫助學生解題，而且可以活躍學生思維，有助于學生理解數學概念，探索解題捷徑，培養學生學習的興趣，收到事半功倍的效果.

關鍵詞： 方程 不等式 函數 思想探討

函數的思想，就是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決.函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題.

方程的思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決.方程的數學是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題.方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系.

函數和方程是密切相關的，對于函數y=f（x），當y=0時，就轉化為方程f（x）=0，也可以把函數式y=f（x）看做二元方程y- f（x）=0.函數問題（例如求反函數，求函數的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函數問題來求解，如解方程f（x）=0，就是求函數y=f（x）的零點.

函數與不等式也可以相互轉化，對于函數y=f（x），當y>0時，就轉化為不等式f（x）>0，借助于函數圖像與性質解決有關問題，而研究函數的性質，也離不開解不等式.

函數與方程是密切相聯的.有時運用方程解函數問題，把函數關系式用解析式表達，并把解析式看做一個方程，通過解方程的手段或對方程的研究、討論，使問題得以解決.運用函數的思想處理方程的問題，即把方程中的“未知數x”升華為函數的“自變量x”，變靜態為動態的函數的思想和方法.

本文從四個方面，利用方程、不等式與函數關系，通過函數與方程、不等式的轉化，不僅幫助學生解題，而且可以活躍學生思維，有助于學生理解數學概念，開拓解題捷徑，培養學生學習的興趣，收到事半功倍的效果.

一、深入理解概念，靈活解題

∴x=-9

A.奇函數 B.偶函數

C.非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數

分析：根據函數奇偶性定義

對于任意x∈{-∞，0）∪（0，+∞）

若g（-x）=g（x）成立，則g（x）是偶函數；

若g（-x）=-g（x）成立，則g（x）是奇函數；

若g（x）≠g（x）-g（x），則g（x）是非奇非偶函數.

由于函數關系式繁瑣，不選用定義證明它的奇偶性.而挖掘其隱含條件，構造g（x）與g（-x）的關系式，體現了方程的思想.

由于G（x）是偶函數

∴有G（-x）=G（x）

解此方程得：g（-x）=-g（x）

根據函數奇偶性定義

∴g（x）是奇函數.

三、利用函數特征，巧設方程

分析：此題一個等式兩個未知量.因此，需利用隱含條件，再造一個方程，組成方程組來解.

解：∵f（x）是偶函數

∴有f（-x）=f（x）

又∵g（x）是奇函數

∴有g（-x）=-g（x）

本題如按常規方法來解：平方展開，得出一個繁雜的式子，往下思路一般會受阻.下面結合圖像，利用解析幾何知識來解.

解：y=■+■

=■+■

所以將y看成是坐標平面上動點P（x，0）到定點A（0，-3），B（4，5）的距離之和.由于點P在x軸上，點A、B在x軸的兩側，因此|AP|+|BP|的最小值就是|AB|.（三角形兩邊之和必大于第三邊）

∴y■=|AB|=■=4■

此題這樣處理，大大簡化了運算量，而且很直觀.

例6：當k∈（0，1/2）時，方程■=kx解的個數為（？搖 ？搖）

A.0 B.1 C.2 D.3

分析：在同一坐標系內作函數y=kx，k∈（0，1/2）和y=■的圖像，得到三個交點，故選D.

例7：已知x，y∈[-π/4，π/4]，a∈R且x■+sinx-2a=04y■+siny·cosy+a=0，則cos（x+2y）=？搖？搖 ？搖？搖.

解：已知表明x和-2y是方程u■-sinu-2a=0的根，

而f（u）=u■+sinu-2a在u∈[-π/4，π/4]為單調遞增函數，

所以x=-2y，

即cos（x+2y）=1.

函數思想與方程思想結合起來處理例7的綜合問題.

總之，對函數的研究離不開方程、不等式知識，在處理有關方程、不等式的問題也離不開函數的觀點，關鍵在于溝通它們之間的內在聯系，系統地把握數學知識，尋找解決問題的捷徑.

參考文獻：

[1]蔡林森.教學革命——蔡林森與先學后教.首都師范大學出版社，2010，2.

[2]車希海.現代職業教育教學實用手冊.山東科學技術出版社，2008，8，第一版.

[3]徐長青.簡約教學在返璞歸真中見實效.中國教育報，2010-5-21.

[4]譚平，陳勇，巫俊平，熊德雅.打造“和諧教育”特色.促進學校內涵發展.中國教育報，2010-6-14.