理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)， 從數(shù)學(xué)概念入手

摘 要： 數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓，也是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，在教學(xué)中具有舉足輕重的作用。本文在分析數(shù)學(xué)概念教學(xué)局限性的基礎(chǔ)上，對概念的引入、形成、鞏固等方面進(jìn)行了深入的研究。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)概念 概念教學(xué) 本質(zhì)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想的呈現(xiàn)應(yīng)體現(xiàn)螺旋上升的原則，逐步讓學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識、思想和方法的理解。由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注重體現(xiàn)重要概念的來龍去脈，因此，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。

長期以來，由于受應(yīng)試教育的影響，不少數(shù)學(xué)教師仍然沒有轉(zhuǎn)變觀念。課堂上比較重視解題訓(xùn)練，輕視概念教學(xué)，造成解題與概念脫節(jié)，使學(xué)生對概念理解含混不清，一知半解，從而不能靈活地運(yùn)用概念解決實際問題。還有些教師僅僅把數(shù)學(xué)概念看作一個名詞而已，概念教學(xué)就是對概念作解釋，要求學(xué)生記憶，而沒有看到像函數(shù)這樣的概念，本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)觀念，是一種處理問題的數(shù)學(xué)方法。事實上，這嚴(yán)重影響了學(xué)生思維的發(fā)展和能力的提高，并且這與新課程大力提倡的培養(yǎng)學(xué)生合作探究能力與創(chuàng)新精神嚴(yán)重背離。那么在新課標(biāo)下如何幫助學(xué)生更好、更深刻地理解數(shù)學(xué)概念，如何引導(dǎo)學(xué)生靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決實際問題呢？

根據(jù)數(shù)學(xué)概念的形成過程及學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般分為三個階段：①引入概念，使學(xué)生感知概念，形成表象；②通過分析、抽象和概括，使學(xué)生理解和明確概念；③通過例題、習(xí)題使學(xué)生鞏固和應(yīng)用概念。

一、優(yōu)化概念的引入，激發(fā)學(xué)生的思維

數(shù)學(xué)概念的引入，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的第一個環(huán)節(jié)，也是十分重要的環(huán)節(jié)。概念引入得當(dāng)，就可以緊緊地圍繞課題，充分地激發(fā)起學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)動機(jī)，為學(xué)生順利地掌握概念起到奠基作用。

引出新概念的過程，實際上是揭示概念的發(fā)生和形成過程，而各個數(shù)學(xué)概念的發(fā)生形成過程又不盡相同，有的是現(xiàn)實模型的直接反映；有的是在已有概念的基礎(chǔ)上經(jīng)過一次或多次抽象后得到的；有的是從數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要中產(chǎn)生的；有的是為解決實際問題的需要而產(chǎn)生的；有的是將思維對象理想化，經(jīng)過推理而得到的；有的則是從理論上的存在性或從數(shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)中構(gòu)造產(chǎn)生的。因此，教學(xué)中必須根據(jù)各種概念的產(chǎn)生背景，結(jié)合學(xué)生的具體情況，適當(dāng)?shù)剡x取不同的方式去引入概念。一般來說，概念的引入可以采用如下幾種方式。

1.以現(xiàn)實原型引入。

中學(xué)許多數(shù)學(xué)概念來源于現(xiàn)實世界，對于這一類概念，可引導(dǎo)學(xué)生分析日常生活和生產(chǎn)實際中的事例，觀察有關(guān)實物、圖式、模型，在具有充分感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上引入概念。如在《圓的認(rèn)識（1）》的教學(xué)中可以這樣引入。

師：我們都看到過車輪，那么車輪都是……

生：（一起回答）圓的。

師：那為什么將它做成圓的？做成方的行嗎？

生1：圓的好滾動呀！如果做成方的，汽車沒辦法行駛。

師：那能做成“扁圓”的嗎？這種形狀也能滾呀？

（大部分學(xué)生始料不及，他們感覺有意思，開始思考。一會兒，很多學(xué)生舉起了手。）

生2：這樣做的汽車開起來不穩(wěn)定，否則車上的乘客就會上下顛簸，那這樣的汽車誰敢坐。（該生膽量比較大，還模仿一下，這時滿堂大笑。）

師：那怎樣才能穩(wěn)定呢？

生：（一起回答）做成半徑相等的。

通過這樣的引入，學(xué)生由生活中車輪“能滾動”進(jìn)入“滾動得平穩(wěn)”的思考中來。經(jīng)過這樣恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，他們就會積極地參與到圓的概念，圓的半徑、直徑、圓心等概念的學(xué)習(xí)中來。

其實，這樣的例子在我們的教材中比比皆是，需要教師去觀察、提煉生活中的素材。比如，通過說明現(xiàn)實生活中存在大量的具有相反意義的量，引出正、負(fù)數(shù)的概念。在提供日常生活中各種對應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，引入“函數(shù)”的概念。事實上，適當(dāng)?shù)芈?lián)系現(xiàn)實原型，可以豐富學(xué)生的感性認(rèn)識，有助于他們理解數(shù)學(xué)概念，也有助于他們將客觀現(xiàn)實材料和數(shù)學(xué)知識融為一體，實現(xiàn)“生活數(shù)學(xué)化”，培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)的眼光看待生活問題的能力。

2.以已有概念引入。

從新概念的形成背景看，有的數(shù)學(xué)概念具有清晰的現(xiàn)實背景或直觀模型，有的則產(chǎn)生于已知的相對初級的概念基礎(chǔ)上。對于后者，常根據(jù)新舊概念的聯(lián)系，可采用相應(yīng)的模式引入。

（1）從種概念引入類概念。

在概括程度較高的舊概念基礎(chǔ)上，添加新的屬性，通過邏輯推演，直接引入新概念，平面幾何中的概念多數(shù)屬于這種情況。比如，在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加“有一個角是直角”的屬性，便得到“矩形”的概念；在三角形的基礎(chǔ)上增加“兩邊相等”引入“等腰三角形”的概念等。

（2）采用對比方法引入。

對比方法是對于兩種不同的對象，按照某些特性，根據(jù)它們的相似點(diǎn)或區(qū)別之處引入新概念。例如，分式的有關(guān)概念通過分?jǐn)?shù)相應(yīng)概念引入；相似三角形概念可以從全等三角形概念中抽去各邊相等這個屬性來引入。

（3）利用逆反關(guān)系引入。

有時也可根據(jù)逆反關(guān)系引入新概念。逆反關(guān)系包括：逆運(yùn)算、逆反性問題等。逆運(yùn)算關(guān)系如加法與減法、乘法與除法、乘方與開方、指數(shù)與對數(shù)等。逆反性問題如已知解析式畫圖形，已知圖形求解析式等。

（4）運(yùn)用概念的推廣引入。

概念的推廣是從特殊到一般的發(fā)展過程，它也體現(xiàn)了概念之間的聯(lián)系。如，數(shù)的認(rèn)識過程就是逐漸推廣的過程。

3.以數(shù)學(xué)問題引入。

通過數(shù)學(xué)問題引入概念，可以充分說明學(xué)習(xí)新概念的必要性，有助于產(chǎn)生認(rèn)識需求，明確認(rèn)識任務(wù)。這里的數(shù)學(xué)問題，一般來自于生活實際，或者是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要。例如，在學(xué)習(xí)“乘方”的概念時，可以提出下面的問題引入課題：某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，8個分裂成16個……依次下去1個這樣的細(xì)胞分裂n次后，最后有幾個細(xì)胞？又如，學(xué)習(xí)“正數(shù)、負(fù)數(shù)”時，生活中有些量不夠減，引入負(fù)數(shù)概念。

4.以數(shù)學(xué)故事引入。

學(xué)生往往對歷史故事和歷史人物感興趣，教學(xué)中，教師可以結(jié)合概念適當(dāng)引入一些數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家的故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。如講實數(shù)的概念時，教師可以介紹古希臘畢式學(xué)派的故事，使學(xué)生在輕松的氣氛中接受無理數(shù)的概念。

5.動手操作引入。

新課程理念要求學(xué)生自主合作探究的學(xué)習(xí)方式。因此在概念學(xué)習(xí)時，可多讓學(xué)生親自動手試一試，在實驗中得出結(jié)論。如在“直棱柱的表面展開圖”、“三視圖”學(xué)習(xí)時，讓學(xué)生用紙自做模型，然后用剪刀剪一剪，做一做，或從家里帶肥皂塊、土豆塊等易切割的東西，進(jìn)行現(xiàn)場操作，學(xué)生通過動手、動腦經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的“演習(xí)”。實踐過程中發(fā)現(xiàn)課堂的氣氛非?；钴S，就算是平時對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比較冷漠的學(xué)生也積極地參與到活動中來，他們非常容易地跨越了空間想象的難關(guān)。

6.以多媒體教學(xué)手段引入。

對于抽象的概念教學(xué)，教師可以充分利用多媒體的優(yōu)勢，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以刺激學(xué)生的多種感官，由形象直觀的認(rèn)識提高為抽象的概括，使抽象的數(shù)學(xué)知識以直觀的形式出現(xiàn)，從而突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。如在學(xué)習(xí)“直線、射線、線段”概念時，先用課件播放一些圖片（運(yùn)動會的比賽場景、天空中的流星、激光、筆直的鐵軌、輸電線、探照燈的燈光等），再用動畫演示，展示直線、射線、線段的形成過程，然后師生互動，在討論交流中詳細(xì)地比較線段、射線、直線的概念。

7.直接引入。

有些概念，是用揭示概念外延的方法給出的定義，這樣的概念比較具體，學(xué)生易于接受，容易理解，在教學(xué)中就不必轉(zhuǎn)彎抹角，開門見山引入效果可能更好。例如，“兩邊相等的三角形是等腰三角形”等概念就可以直接提出。還有些基本概念，如點(diǎn)、直線、平面等可用公理化方法定義的概念，我們都可以直接提出。

概念的引入方式很多，這些方式要靈活選取，有時還可以交叉使用。但不管采用什么方式，必須注意以下幾個原則：一是材料的選取要確切，要突出概念的本質(zhì)特征；二是緊扣學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；三是盡可能聯(lián)系學(xué)生熟悉的生活實際；四是能夠引起學(xué)生思考、探索的興趣；五是不要故意繞圈子。

二、透析概念的形成，發(fā)展學(xué)生的思維

引入階段提供的生活實例或觀察材料是形成概念的毛坯，接下來便是去粗存精、由表及里的思維加工階段，其主要任務(wù)是通過抽象化、形式化來掌握概念的內(nèi)涵，廓清概念的外延。這一步是形成概念思維活動過程中關(guān)鍵的一步。數(shù)學(xué)教學(xué)通常經(jīng)過下列環(huán)節(jié)達(dá)到對概念本質(zhì)屬性的理解。

1.加強(qiáng)概念的理解，明確概念的內(nèi)涵。

引入概念僅是概念教學(xué)的第一步，概念的理解才是概念教學(xué)的中心環(huán)節(jié)。因此，為了讓學(xué)生準(zhǔn)確地理解概念，明確概念的內(nèi)涵與外延，正確表述概念的本質(zhì)屬性，教學(xué)中可采用以下具有針對性的方法。

（1）抓要點(diǎn)，明本質(zhì)。

挖掘概念的內(nèi)涵與外延，抓住其本質(zhì)，使學(xué)生不僅知其然，更知其所以然。以直角三角形中正弦函數(shù)為例進(jìn)行剖析，正弦函數(shù)涉及比的定義、角的大小、點(diǎn)的坐標(biāo)、距離公式、相似三角形、函數(shù)概念等知識，其中“比”是這一概念的本質(zhì)特征。為了突出這個比值，引導(dǎo)學(xué)生思考：①正弦函數(shù)實質(zhì)上就是一個“比”，這個比是∠α的對邊與斜邊的比值；②在角α的終邊上任取一點(diǎn)P（x，y），那么這個比就是

③這個比值隨的∠α大小確定而確定，與∠α的對邊與斜邊的長度無關(guān)；④由于對邊小于斜邊，因此這個比值不超過1。經(jīng)過對正弦概念的本質(zhì)屬性分析后應(yīng)指出：直角三角函數(shù)有六個，這便是三角函數(shù)的外延，而在初中我們僅學(xué)習(xí)其中的三個（正弦、余弦、正切）。

在幾何中，很多概念的詞語表述比較長，這時可以對其加工分解，明確要點(diǎn)；還有些概念只需望“名”就能生“義”，就能明確要點(diǎn)，這樣操作也便于記憶。例如，學(xué)習(xí)“線段的垂直平分線”概念時，在原來知識的基礎(chǔ)上讓學(xué)生分開理解“垂直”、“平分”的含義，就能抓住它的三個要點(diǎn)：（1）它是一條直線；（2）這條直線過線段的中點(diǎn)；（3）這條直線垂直于這條線段。

（2）恰當(dāng)運(yùn)用反例。

概念教學(xué)中，除了從正面去揭示概念的內(nèi)涵外，還應(yīng)考慮運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆蠢ネ怀龈拍畹谋举|(zhì)屬性，尤其是讓學(xué)生通過比較正例與反例的差異，對自己出現(xiàn)的錯誤進(jìn)行反思，更利于強(qiáng)化學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的理解。

用反例去突出概念的本質(zhì)屬性，實質(zhì)是使學(xué)生明確概念的外延，從而加深對概念內(nèi)涵的理解。凡具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象必屬于該概念的外延集，而反例的構(gòu)造，就是讓學(xué)生找出不屬于概念外延集的對象，顯然，這是概念教學(xué)中的一種重要手段。但必須注意，所選的反例應(yīng)當(dāng)恰當(dāng)，防止過難、過偏，造成學(xué)生注意力分散，而達(dá)不到突出概念本質(zhì)屬性的目的。

（3）合理運(yùn)用變式。

依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本質(zhì)屬性具有較明顯的突出特征，容易形成干擾的信息，而削弱學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的正確理解。因此，在教學(xué)中應(yīng)注意運(yùn)用變式，從不同角度、不同方面去反映和刻畫概念的本質(zhì)屬性。一般來說，變式包括圖形變式、式子變式和字母變式等。

如，學(xué)習(xí)了“對頂角”概念后，為了幫助學(xué)生認(rèn)識“對頂角”的本質(zhì)特征，教師可以出示一些圖形，讓學(xué)生判斷一下它們是否是對頂角。

又如，在學(xué)三角形的高這一概念時，可以向?qū)W生呈現(xiàn)一些在形狀、位置等方面有差異的不同三角形（銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形）的例子，讓他們通過對這幾種典型變式的思維加工、抽象概括出“三角形的高”的定義。

（4）抓對比，促鑒別。

“有比較才有鑒別”，數(shù)學(xué)的各種知識要讓學(xué)生在比較中去思考、去認(rèn)識。數(shù)學(xué)的一些概念和規(guī)律，理論性較強(qiáng)而且比較抽象，如果把它與學(xué)生熟悉的（已知的）相關(guān)實體（事物）進(jìn)行比較，從中理解概念、掌握規(guī)律，學(xué)生就會對它產(chǎn)生極大興趣，就會主動思考。如關(guān)于“軸對稱圖形”和“軸對稱”這兩個概念學(xué)生較難理解，但通過讓學(xué)生觀察常見的汽車標(biāo)志，如奔馳、大眾、桑塔納，商標(biāo)如工行、農(nóng)行等，看到它們共同的性質(zhì)：沿某條直線翻折，左右兩邊能夠完全重合，這樣就容易理解軸對稱概念。同樣讓學(xué)生們觀察天上的月亮和水中的月亮，每人的兩只手，中國民間的窗紙、剪紙，發(fā)現(xiàn)：一個圖形沿某條直線翻折，與另一個圖形完全重合，得到“兩個圖形成軸對稱”。于是有：

反過來如果把一個圖形直線兩旁部分看成兩個圖形，那么它們成軸對稱，把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，那么它就成了軸對稱圖形，這樣就使學(xué)生對這兩個難懂的概念有了透徹的理解。

用對比或類比理解新概念，一定要突出新、舊概念的差異，明確新概念的內(nèi)涵，防止舊概念對學(xué)習(xí)新概念產(chǎn)生的負(fù)遷移的影響。

（5）究錯因，促理解。

嘗試錯誤即學(xué)生從正面接觸概念后，教師從概念的反面有針對性地創(chuàng)設(shè)一種錯誤的情境，引導(dǎo)學(xué)生深入到這種特定的情景中，運(yùn)用已有的知識和經(jīng)驗去分析錯因，去嘗試矯正。如，學(xué)習(xí)實數(shù)的概念后學(xué)生經(jīng)常把，0.1010010001，0.1010101010，……當(dāng)作無理數(shù)。究其錯誤原因，主要是由于學(xué)生沒有弄清楚無理數(shù)的“無限不循環(huán)”的本質(zhì)屬性，要求教師引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)所設(shè)計的圈套，然后引導(dǎo)學(xué)生去找錯、糾錯，這樣更有利于學(xué)生對概念的理解，讓學(xué)生在反思提高對數(shù)學(xué)概念的理解能力。

2.正確使用符號，減少概念的謬誤。

用數(shù)學(xué)符號來表示數(shù)學(xué)概念，既是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)。由于數(shù)學(xué)概念本身就十分抽象，加上用符號表示，從而使概念更抽象化，因而在概念教學(xué)中真正使學(xué)生掌握概念符號的意義，顯得尤為重要。在實際教學(xué)中要防止兩種脫節(jié)：一是概念與實際對象脫節(jié)；二是概念與符號脫節(jié)。后一種脫節(jié)很容易使概念與所反映的對象的內(nèi)容脫節(jié)而產(chǎn)生錯誤。例如，學(xué)生不理解根號及運(yùn)算次序，從而得出如下的錯誤等式：=5+12=17。

因此，為了避免概念和符號脫節(jié)，在教學(xué)中必須解決好“語言文字”與“數(shù)學(xué)符號、式子”之間的互譯問題，讓學(xué)生把代表某一概念的數(shù)學(xué)符號與概念內(nèi)涵直接掛鉤。

3.明確概念間的聯(lián)系，深化概念的理解。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的知識單元，概念之間的聯(lián)系則形成了教學(xué)內(nèi)容體系的框架結(jié)構(gòu)。它們之間有著密切的內(nèi)部聯(lián)系，把個別概念放在概念的相互聯(lián)系中來教學(xué)，有助于揭示概念的本質(zhì)。

在既定的課程中，概念之間的各種關(guān)系是課程設(shè)計者計劃安排好的，而對教材的分析者（教師和學(xué)生）來說，概念體系隱沒在知識內(nèi)容之中，分析者要通過自己的整理使之明朗化。

概括起來，中學(xué)數(shù)學(xué)教材中概念間的聯(lián)系有以下幾種：

（1）具有屬種關(guān)系的概念群。

具有屬種關(guān)系的概念，可用一種邏輯鏈將它們連接起來，這樣便于學(xué)生理解和記憶。比如，四邊形→平行四邊形→矩形→正方形；算術(shù)數(shù)→有理數(shù)→實數(shù)……

（2）具有并列關(guān)系的概念群。

有些概念之間存在某種潛在的聯(lián)系，并從屬于某個概念程度更高的概念，我們稱這類概念具有并列關(guān)系。比如，正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式；直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形……這些概念學(xué)習(xí)可以相互類比，應(yīng)用時有時還可相互轉(zhuǎn)換。

（3）成群組關(guān)系的概念群。

成群組關(guān)系的概念群，其中有一個是核心概念，其他是從不同角度解釋和烘托這個核心概念的附屬概念。如，圍繞“圓”的附屬概念有“圓心”、“半徑”、“直徑”、“弧”、“弦”；與“乘方”有關(guān)的概念有“冪”、“底數(shù)”、“指數(shù)”等。

明確概念間的各種聯(lián)系，我們就可以用“網(wǎng)絡(luò)圖”將教材中隱性概念體系結(jié)構(gòu)顯性化，這樣直觀地展示概念間的相互聯(lián)系，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、重視概念的鞏固，拓展學(xué)生的思維

數(shù)學(xué)概念多而抽象，容易混淆或遺忘。學(xué)生對概念的掌握也不是一次就能完成的，需要由具體到抽象，再由抽象到具體的多次反復(fù)。所以理解概念后還要幫助學(xué)生及時地鞏固概念，熟記概念，需要教給他們一些鞏固的方法。

1.學(xué)習(xí)記憶的方法，提高記憶的效率。

（1）理解記憶法。“若要記住，必先理解”，也被教學(xué)實踐所證明了的。凡是學(xué)生囫圇吞棗地記住的概念，不久就會忘記；而凡是理解的概念，則往往記得比較牢固。在概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生一定要理解所學(xué)概念的內(nèi)涵，使所學(xué)的概念與自己頭腦的原有概念體系建立多方面的聯(lián)系，使其達(dá)到理解記憶的水平。在概念學(xué)習(xí)時，不僅要使概念成為學(xué)習(xí)活動的直接對象，而且要使形成這些概念的思想和方法也成為學(xué)習(xí)活動的對象。

（2）系統(tǒng)記憶法。數(shù)學(xué)概念間有一定的系統(tǒng)性，內(nèi)在聯(lián)系非常緊密。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)中能有計劃地將這些概念進(jìn)行及時整理，使其組織化、結(jié)構(gòu)化、邏輯化，形成一個系統(tǒng)，就便于記憶。上面已經(jīng)談到了概念間的聯(lián)系，讓學(xué)生明確它們之間的聯(lián)系，并通過分析后納入自己概念體系中，可以大大減少記憶量，也容易長久記憶。

（3）形象記憶法。在概念學(xué)習(xí)中，有些抽象的概念和圖形能夠直接聯(lián)系。由于圖形直觀形象在記憶中一般比較清晰穩(wěn)定，便于記憶。如數(shù)學(xué)中的幾何概念基本上都可以畫出圖形，用圖形進(jìn)行記憶效果非常好，這已為實踐所證實。

2.靈活地運(yùn)用概念，發(fā)揮概念的作用。

學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用。教學(xué)中主要是通過練習(xí)達(dá)到運(yùn)用概念的目的，在練習(xí)中可以加深理解和鞏固概念，并利于啟發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力。練習(xí)要注意以下幾點(diǎn)：

（1）練習(xí)的目的要明確。在練習(xí)時必須明確每項練習(xí)的目的，使每項練習(xí)都突出重點(diǎn)，充分體現(xiàn)練習(xí)的意圖，做到有的放矢，使練習(xí)真正有助于學(xué)生理解新學(xué)概念，有利于發(fā)展學(xué)生的思維。根據(jù)練習(xí)目的不同有如下幾種類型：

①對比練習(xí)。對于一些容易混淆的概念等，可以用對比的方法進(jìn)行辨析，幫助學(xué)生弄清它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。如，學(xué)好“軸對稱”概念后，可以讓學(xué)生比較一下軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系。

②判別性練習(xí)。學(xué)生學(xué)了某些概念后，可出一些題讓學(xué)生判斷正誤，既有助于概念的鞏固，同時又能發(fā)展學(xué)生的鑒別能力。如學(xué)了“圓周角”的概念后，讓學(xué)生判斷下圖中的哪些角是圓周角。

③改錯練習(xí)。選擇學(xué)生容易出錯的實例，讓學(xué)生改正，可使學(xué)生更準(zhǔn)確地掌握概念，提高學(xué)生的鑒別能力。如學(xué)習(xí)“平方根”概念后，讓學(xué)生判斷正誤，④實際應(yīng)用的練習(xí)。如學(xué)習(xí)了“線段”概念后，同學(xué)們已掌握了數(shù)線段的規(guī)律，并明白在直線上有n個點(diǎn)，可得到條線段。然后提出：若我們每組4名同學(xué)，每兩人都握一次手，共握幾次手？若5名同學(xué)呢？n名呢？在此基礎(chǔ)上，你還能聯(lián)想到什么？大家通過討論交流，聯(lián)想到了實際生活中的循環(huán)比賽，平面上n個點(diǎn)可確定線段、射線的條數(shù)，平面上n條直線兩兩相交的交點(diǎn)個數(shù)，還聯(lián)想到角的數(shù)法。

（2）練習(xí)的層次要清楚。鑒于初中生的年齡特點(diǎn)，認(rèn)識事物往往不能一次完成，需要一個逐步深化和提高的過程。因此練習(xí)時要按照由簡到繁、由易到難、由淺入深的原則，逐步增加練習(xí)的難度。

①基本練習(xí)，在剛學(xué)完新課之后的單項的、帶有模仿性的練習(xí)，它可以幫助學(xué)生鞏固知識，形成正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

②發(fā)展練習(xí)，在學(xué)生已基本掌握了概念和初步形成一定的技能之后的練習(xí)，它可以幫助學(xué)生形成熟練的技能技巧。

③綜合練習(xí)，可以使學(xué)生進(jìn)一步深化概念，提高解題的靈活性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，實現(xiàn)由技能到能力的轉(zhuǎn)化。

3.注重概念的分類，體現(xiàn)概念的價值。

人類的思維反映和把握客觀世界是通過概念體系來進(jìn)行的。概念體系是人類的思維之網(wǎng)，各個概念是這張思維之網(wǎng)的各個“紐結(jié)”。教學(xué)時，應(yīng)闡明概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，明確概念的從屬關(guān)系，科學(xué)地、系統(tǒng)地分析概念的相互關(guān)系，有助于提高學(xué)生的思維能力。如四邊形認(rèn)知圖式的構(gòu)建，把四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等）的知識有機(jī)地融合在一起。因為孤立地教學(xué)概念，將限制概念學(xué)習(xí)的價值。

通過以上的研究，我們認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是智能發(fā)展的重要因素。加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，既是深化教學(xué)改革的需要，更是培養(yǎng)“智能型”人才和提高全民族數(shù)學(xué)素質(zhì)的需要。

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