對斜面上平拋運動的探討

摘 要： 平拋運動是高中物理中重要的研究問題的方法，對于相關結論的探討會加深學生對平拋知識的理解應用。本文重點研究了物體在斜面上做平拋運動時的一些問題，特別是容易出錯的地方。

關鍵詞： 斜面 平拋運動 高中物理教學

平拋運動是高中物理中的重要內容，教學過程中經常會遇到發生在斜面上的平拋運動。筆者發現，對于這類問題，許多學生往往淺嘗輒止，導致一些錯誤認識長期得不到糾正。本文就相關問題進行詳細探討。

例題：如圖1所示，從傾角為θ的斜面上的O點以速度v平拋一個小球，最終落在斜面上的A點。求：（1）小球從拋出開始計時經多長時間落到A點？位移的大小|OA|為多少？（2）小球經多長時間距離斜面最遠？最遠距離是多大？（3）若以小球軌跡上距斜面最遠點為分界點，將其軌跡分為兩部分，兩部分長度相等嗎？是否關于該點對稱？（4）斜面足夠長，改變v的大小重新平拋，試證明末速度方向與斜面之間的夾角為定值，與v的大小無關。

解析：

一、斜面上平拋運動位移和時間的確定

如圖2所示，將位移OA分解為水平方向的位移x和豎直方向的位移y，顯然有y=xtanθ，設平拋運動的總時間為，根據小球在水平方向上做勻速直線運動，豎直方向上做自由落體運動，有：，以上三式聯立得：。顯然當斜面夾角確定時，平拋運動的時間只與初速度的大小成正比，與其他因素無關。位移大小|OA|，當θ確定時，拋點和落點間的距離與初速度的平方成正比。

二、距離斜面最遠的條件

如圖3所示，采用正交分解法將小球所受重力mg與初速度分別沿垂直于斜面和平行于斜面方向分別分解，根據力的獨立作用原理知，運動時間共同決定小球離開斜面距離的大小。所以當v減小到零時，小球離開斜面的距離最遠，此時只有，即當小球的速度方向與斜面平行時距離斜面最遠。

三、距斜面最大距離的確定

四、軌跡是否關于最遠點B對稱

如果不加仔細分析，許多同學就會想當然地認為軌跡關于最遠點B對稱，其實不然。原因在于B點為整個過程的中間時刻，故曲線OB和曲線BA在水平方向的分量是一樣的，而它們在豎直方向的位移之比為1∶3，如圖4所示，所以這兩段曲線的長度根本就不相等，即軌跡不可能關于B點對稱。其實對于斜上拋運動物體的軌跡才有對稱的情況，對稱軸為過最高點的豎直線，原因在于斜上拋運動的軌跡是一條完整的拋物線，在最高點兩側都有軌跡圖像，才會有對稱的情況發生，而平拋運動物體的軌跡根本不具備對稱的可能性。

五、相對于斜面落點速度方向的唯一性

任何平拋運動和類平拋運動中，一段時間內末速度的反向延長線必定過這段時間內水平位移的中點。這是一個非常重要的結論，在許多方面都有著巧妙的應用。由①③兩式可得：tanα=2tanθ④，該式說明速度偏向角的正切值是位移偏向角正切值的2倍，這個結論也適用于所有平拋運動和類平拋運動。④式說明斜面上的平拋運動落點速度方向與斜面之間的夾角β和初速度大小無關，即β=α-θ=arctan（2tanθ）-θ，很顯然β為定值。

總之，在斜面上物體的平拋運動值得分析的探究點很多，只要能夠抓住問題的本質，采用恰當的物理規律和分析問題的方法，就一定可以達到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的境界。

為了很好地應用上面的一些結論，在文章最后附上了一道練習題，以期起到小試牛刀的作用。

（參考答案：B）