巧用微元法求解電磁感應問題的幾類模型

摘 要： 微元法是高中物理教學中一種重要的思維方法。本文結合電磁感應問題中的幾類模型，利用微元法的思想有效快速地解決了問題，并收到了良好的教學效果。在教學中進行“微元法”的訓練，能提高學生思維能力和分析解決問題的能力。

關鍵詞： 微元法 電磁感應 模型

在高中物理中，由于數學知識學習上的局限，對于高等數學中可以使用積分來進行計算的一些問題，在高中很難加以解決，成為一大難題。但是如果應用積分的思想，化整為零，化曲為直，采用“微元法”，可以很好地解決這類問題。“微元法”通俗地說就是把研究對象分為無限多個無限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進行分析處理，再從局部到全體綜合起來加以考慮的科學思維方法，這個方法充分體現了積分的思想。本文結合電磁感應中的幾種疑難問題，對微元法的靈活應用加以分析說明。

一、“切割類”模型

導體切割磁感線是高中物理常見的產生感應電動勢的基本模型之一，我們將這種模型簡稱為“切割類”模型。直線切割比較簡單，但對于不規則形狀的切割可以利用微元法來求解。具體如下例：

例1：如圖1所示，AB是半徑為R的半圓形金屬導體，當AB以v水平向右運動時，求AB兩端的感應電動勢多大？

解析：高中生利用法拉第電磁感應定律可以推導出直線切割時的感應電動勢為：E=BLV，但是對于不規則導體切割磁感線的情況則感到束手無策。此時不妨利用微元法，將金屬導體AB分為無數條小段，如下圖2所示：

在圖2中選取任意一小段導體L，將其無限放大后如圖3所示，由于導體L本身比較短，可以將導體L等效為直線，則導體L可以正交分解為水平分量Lx和豎直分量Ly，水平分量Lx不會切割磁感線，豎直分量Ly切割磁感線產生的感應電動勢大小為EL=BLyV，以此類推，每一小段導體切割的感應電動勢都可以按照正交分解的辦法，所有豎直分量疊加起來即為大導體AB的直徑2R，故導體AB產生的感應電動勢大小為：E=B2RV=2BRV.

二、“插入類”模型

當條形磁鐵插入或者拔出閉合金屬環時，金屬環內會產生感應電流，電流方向可以用楞次定律判定。但是利用微元法可以解釋金屬環的運動趨勢，有利于更加深刻地理解楞次定律中的“阻礙”的含義。

例2：如圖4所示，水平桌面上放一閉合鋁環，在鋁環軸線上方有一條形磁鐵，當條形磁鐵沿軸線豎直向下迅速靠近鋁環時，鋁環對桌面的壓力如何變化？

解析：當條形磁鐵S極靠近鋁環時，穿過鋁環磁感線斜向上且磁通量增加，根據楞次定律判定鋁環中感應電流方向沿順時針方向（俯視觀察）。將有感應電流通過的鋁環分成許多微元段，根據左手定則分析鋁環上各直徑兩端對稱微元段所受安培力，受力如圖5所示，可知各微元段所受安培力斜向下指向內側，將各個微元的安培力分解到水平方向和豎直方向，則發現每段微元受到的安培力豎直分量均向下，則條形磁鐵向下靠近時，磁感應強度增大，鋁環對桌面壓力增大。同時可以看出，鋁環受的安培力水平分量均指向圓心，則鋁環有收縮趨勢。

三、“互感類”模型

相互靠近的導線通電時，相互之間有沒有力的作用呢？給螺線管通電的瞬間，螺線管會發生什么樣的變化呢？這類問題歸根結底還是電磁感應和安培力知識的結合，但是直接從正面求解難以下手，也比較難得出結論。如果利用微元法，以小見大，就可以清楚地說明問題。具體見例3。

例3：如圖6所示，長為L的通電螺線管通以如圖所示的電流時，螺線管的長度有沒有微小變化？若有，那螺線管是變長還是變短呢？

解析：面對這樣的問題，許多同學不知道如何下手。其實很多同學對于兩根直線電流的情況能自主分析，而對于一個“龐大”的螺線管就不知道怎么處理了。高中階段我們利用微元法的思想，將螺線管相鄰兩匝對應部分分成無數段非常小的直線電流，如圖7所示，則這兩段相鄰的直線電流為兩條相互平行的同向直線電流，對于相互平行的同向直線電流之間的相互作用力分析如圖8所示。

直導線A在其下半部分區域產生的磁場如圖所示（豎直截面圖），則由左手定則可以判定導線B所受的安培力方向向上。同樣的道理，導線A所受的安培力豎直向下。兩條相互平行的同向直線電流之間具有相互吸引的作用力。這兩條導線A、B有相互靠近的趨勢。那么，對于一個通直流電的螺線管，可以視為是無數個相互平行同向直線電流小微元組合起來的，相鄰兩匝之間也會相互吸引。所以，本題中通電螺線管通以如圖所示的電流時，螺線管的長度有會因為相互吸引而變短。

以上幾個例子僅僅從電磁感應模塊的幾個疑難問題方面講述了微元法的巧妙用處。高中物理中利用微元法解題的知識點非常多。例如求變力做功問題、求不規則物體間的萬有引力等都可以利用微元法求解。

四、總結

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復雜的物理問題用我們熟悉的物理規律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元過程”所遵循的規律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進行必要的數學方法或物理思想處理，進而使問題求解。使用此方法會加強我們對已知規律的再思考，從而起到鞏固知識、加深認識和提高能力的作用。

參考文獻：

[1]陳小磊.例析“微元法”在高中物理中的應用[J].物理教學探討，2009，27（31）：71-72.

[2]羅海東.普通物理中的微元法[J].科技信息，2012（32）：140.

[3]徐學.微元法在電磁感應中的應用題型分析[J].考試周刊，2011（33）：8-9.

[4]鐘元志.微元法在高中物理教學中的應用[J].高中數理化，2011（18）：39-40.

[5]程守株.普通物理學（上）（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2006.