波達(dá)方向估計(jì)的一種改進(jìn)SVD算法

摘 要：本文主要研究智能天線算法中的關(guān)鍵技術(shù)波達(dá)方向估計(jì)（DOA）。針對(duì)相干信號(hào)源的信號(hào)子空間與噪聲子空間相互滲透，導(dǎo)致空間協(xié)方差矩陣缺秩從而經(jīng)典算法失效的問題，本文基于奇異值分解（SVD）算法，提出了一種改進(jìn)的SVD算法。該算法利用入射信號(hào)矩陣的最大特征向量元素包含所有入射信號(hào)信息的性質(zhì)，進(jìn)行矩陣重構(gòu)，并對(duì)重構(gòu)矩陣進(jìn)行特征值分解得到噪聲子空間和信號(hào)子空間，最后利用經(jīng)典譜估計(jì)算法得到相干信源的入射方向。仿真試驗(yàn)結(jié)果表明改進(jìn)SVD算法性能優(yōu)于原始算法。

關(guān)鍵詞：波達(dá)方向估計(jì) 多重信號(hào)分類算法 矢量奇異值算法

中圖分類號(hào)：TN929.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2013）06（a）-0007-03

An improved SVD characteristic spectral estimation algorithm in

Direction of Arrival Estimation

Zhang Yuyi

（Shanghai Aircraft Design And Research Institute， ShangHai，201210， China）

Abstract：The paper mainly studied the key technologies of smart antenna algorithm called direction of arrival estimation（DOA）. The rank’s lack of spatial covariance matrix caused by the mutual penetration of the coherent source signal subspace and noise subspace lead to the failure of the classic algorithm.T/cc9fRIxc4mrjWgQmJqocVRqLuJUFJ1Mz2dvvthUkP8=he paper provided an improved singular value decomposition （SVD） algorithm based on the classical SVD algorithm.As the maximum eigenvector of the incident signal matrix contains full information of the the incident signal，the reconstructed matrix of incident signal can be decomposed into noise subspace and signal subspace in order to obtain the incident direction of coherent sources using classic spectral estimation algorithm. Experimental simulation shows the performance of the new algorithm is better than the original algorithm.

Key Words：DOA；multiple signal classification algorithm；SVD algorithm

移動(dòng)通信逐漸成為現(xiàn)代通信的主要方式，但頻譜資源隨著用戶的增多而日益匱乏，無(wú)線信道的傳輸環(huán)境導(dǎo)致的信號(hào)衰減、衰落和時(shí)延擴(kuò)展也嚴(yán)重影響了通信質(zhì)量。針對(duì)上述問題，智能天線技術(shù)旨在用有限的頻譜資源容納盡可能多的用戶。智能天線的基本工作原理就是根據(jù)接收信號(hào)自動(dòng)調(diào)節(jié)天線接受陣列的幅度和加權(quán)值，從而達(dá)到最佳的發(fā)射和接收效果。

作為智能天線技術(shù)的基礎(chǔ)，基于特征結(jié)構(gòu)的空間譜估計(jì)經(jīng)典算法有MUSIC算法[1]、ESPRIT[2]算法等。由于MUSIC算法和ESPRIT算法在最優(yōu)化的建立過程中，要求信號(hào)的自相關(guān)矩陣要有正定性，即信號(hào)在空間中是非相干的，因此經(jīng)典的MUSIC算法和ESPRIT算法對(duì)相干信號(hào)都沒有很好的分辨能力。學(xué)者為此進(jìn)行了廣泛研究[3～7]。

本文主要介紹空間譜估計(jì)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型和算法模型，針對(duì)無(wú)線環(huán)境中經(jīng)常出現(xiàn)的相干信號(hào)源的問題，在研究常用解相干算法的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的SVD算法，并通過仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，證明該算法相對(duì)傳統(tǒng)算法具有優(yōu)越性。

1 相干信號(hào)源接收信號(hào)模型

由于信號(hào)傳播的復(fù)雜環(huán)境，若建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)模型需要提供物理環(huán)境的完整描述，不利于信號(hào)算法性能的研究，故本文使用的是簡(jiǎn)化信號(hào)模型。

假設(shè)信號(hào)源是窄帶信號(hào)，那么窄帶信號(hào)的復(fù)包絡(luò)可以表示為：

（1）

則到達(dá)天線處的接收信號(hào)為：

（2）

其中，為接收到的第個(gè)信號(hào)源的幅值；為接收信號(hào)的相位信息；為信號(hào)的延遲；為接收信號(hào)的頻率，。

假設(shè)信號(hào)源是窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)的，它入射到各個(gè)陣元上的時(shí)間延遲可以等效為信號(hào)復(fù)包絡(luò)信號(hào)的相位偏差，而幅度變化可以忽略不計(jì)，則式（2）可改寫為：

（3）

假定有個(gè)距陣元較遠(yuǎn)的的窄帶信號(hào)入射到陣元數(shù)為的陣列上，第個(gè)陣元的接收信號(hào)可表示如下：

（4）

其中，為第個(gè)陣元作用于第個(gè)信號(hào)的增益；為第個(gè)陣元工作于時(shí)間的噪聲；為第個(gè)信號(hào)在傳播到第個(gè)陣元的時(shí)間延遲。

假設(shè)陣列之間每個(gè)陣元是相互同性且不存在互耦性等其他因素的影響，那上式中的增益可忽略（也就是歸一化成1），并將個(gè)陣元接收的窄帶信號(hào)有序的排列成一個(gè)列向量，可表示如下：

（5）

個(gè)相干信號(hào)源的表達(dá)式就是相差一個(gè)復(fù)常數(shù)，可如下表示：

（6）

將上式代入（5）可得到相干信號(hào)源情況下簡(jiǎn)化的接收信號(hào)模型：

（7）

2 相干信號(hào)源譜估計(jì)算法

MUSIC算法是一種經(jīng)典信號(hào)譜估計(jì)算法，其思想是利用對(duì)任意陣列輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解獲得兩個(gè)相互正交的子空間，即與信號(hào)分量相對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間以及與信號(hào)分量正交的噪聲子空間，并利用兩個(gè)子空間進(jìn)行譜峰搜索獲取最大功率時(shí)對(duì)應(yīng)的角度，即信號(hào)的入射方向。

本節(jié)先簡(jiǎn)單介紹SVD算法，并在此基礎(chǔ)上提出一種改進(jìn)的SVD算法，獲取信號(hào)子空間和噪聲子空間后，再利用MUSIC譜估計(jì)算法得到接收信號(hào)的入射角度信息。

2.1 矢量奇異值SVD算法

在接收信號(hào)模型中假設(shè)噪聲協(xié)方差矩陣是滿秩矩陣，則有下式成立：

（8）

其中，1≤≤，記為特征矢量，記為線性組合因子，。當(dāng)噪聲協(xié)方差矩陣是理想白噪聲時(shí)，式（8）可化簡(jiǎn)為：

（9）

信號(hào)完全相干即時(shí)，則式（9）左邊只有最大特征矢量對(duì)應(yīng)的特征矢量：

（10）

上式說(shuō)明最大特征矢量包含所有信號(hào)的信息，因此利用最大特征矢量的元素來(lái)進(jìn)行矩陣重構(gòu)從而實(shí)現(xiàn)解相干，構(gòu)造矩陣如下：

（11）

式中，，，。對(duì)進(jìn)行奇異值分解有：

（12）

其中，為一個(gè)的由奇異值所組成的矩陣；為右奇異值矩陣；為左奇異值矩陣，那理想情況下矩陣的非零奇異值有個(gè)，也就是小奇異值對(duì)應(yīng)的左奇異值矩陣中的矢量組成的空間即為噪聲子空間，非零奇異值對(duì)應(yīng)的矢量即是信號(hào)子空間。

2.2 改進(jìn)的SVD算法

在接收信號(hào)模型中取出接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量，即最大特征值向量為：

（13）

利用陣列接收數(shù)據(jù)及其共軛信息，可以設(shè)第一個(gè)特征向量，第二個(gè)特征向量，第個(gè)特征向量分別為：

（14）

（15）

（16）

取作為參考元素，將參考元素與取共軛對(duì)稱后的特征向量分別計(jì)算相關(guān)函數(shù)：

（17）

當(dāng)由變?yōu)闀r(shí)，即可得到的相關(guān)矢量為，且滿足：

（18）

重新構(gòu)造矩陣：

（19）

其中，即取共軛轉(zhuǎn)置，得到的是階的共軛對(duì)稱矩陣。

對(duì)奇異值分解，，得到的，分別為左右奇異值矩陣，是奇異值構(gòu)成的矩陣，通常理想環(huán)境條件下奇異值的數(shù)目是，大奇異值對(duì)應(yīng)的大特征矢量可以構(gòu)成信號(hào)子空間，而小奇異值對(duì)應(yīng)的小特征矢量可以構(gòu)成噪聲子空間，利用MUSIC算法進(jìn)行譜峰搜索就能夠估計(jì)出信源的來(lái)波到達(dá)方向。

改進(jìn)的奇異值分解法利用最大特征向量的元素包含所有入射信號(hào)的信息的性質(zhì)，將最大特征向量的各個(gè)元素進(jìn)行有規(guī)律的取共軛對(duì)稱，并與參考元素（此處取最大特征向量的第一個(gè)元素）進(jìn)行相關(guān)，得到其相關(guān)函數(shù)，并對(duì)得到的相關(guān)函數(shù)進(jìn)行矩陣重構(gòu)，從而得到共軛對(duì)稱矩陣，然后通過對(duì)重構(gòu)的共軛對(duì)稱矩陣進(jìn)行特征值分解，即可得到噪聲子空間和信號(hào)子空間，從而得到相干信源的入射方向。

3 性能分析

3.1 SVD、改進(jìn)SVD算法分辨力比較

假設(shè)一均勻線陣，相干信號(hào)源，陣元間距，陣元數(shù)，信號(hào)源入射角度分別為20°、40°，數(shù)據(jù)快拍數(shù)為1000。

從圖1和圖2可知，改進(jìn)后的SVD算法在低信噪比情況下仍具有良好性能，當(dāng)信噪比為時(shí)，兩算法能清晰分辨信號(hào)源；當(dāng)信噪比為-10 dB時(shí)，SVD算法已經(jīng)無(wú)法有效分辨，改進(jìn)SVD算法仍有良好性能。

4.2 SVD、改進(jìn)SVD算法成功率比較

假設(shè)一均勻線陣，相干信號(hào)源，陣元間距，陣元數(shù)，信號(hào)源入射角度分別為、、，數(shù)據(jù)快拍數(shù)為1000，圖3，圖4分別在信噪比為0 dB與-10 dB的情況下試驗(yàn)。

在不同信噪比下進(jìn)行500次實(shí)驗(yàn)，我們可以得到本文提出的改進(jìn)的奇異值算法有以下特點(diǎn)。

（1）圖3看出，改進(jìn)SVD算法有很小估計(jì)偏差。

（2）在低信噪比情況下有很優(yōu)異的性能，從圖4中可以看出在低信噪比情況下改進(jìn)SVD算法的分辨成功概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于SVD算法。當(dāng)信噪比為時(shí)，新算法基本上可以達(dá)到百分百的成功概率。

4 結(jié)論

矢量奇異值（SVD）解相干是通過犧牲陣列的有效孔徑獲得的，適合高信噪比場(chǎng)合。為了改善矢量奇異值分解算法性能，本文提出了一種改進(jìn)的奇異值分解算法。該算法利用奇異值分解法中的最大特征向量，對(duì)其進(jìn)行重新計(jì)算，構(gòu)造了具有Toeplitz性質(zhì)的相關(guān)矩陣，從而使改進(jìn)后的SVD算法在低信噪比情況下仍具有很好的穩(wěn)定性和分辨力及很小的估計(jì)偏差。研究結(jié)果表明，改進(jìn)的SVD算法性能明顯優(yōu)于SVD算法。

本文所介紹的解相干算法只適合等間距均勻線陣，對(duì)于一些特殊的天線陣列，需要經(jīng)過一些預(yù)處理才能應(yīng)用本章所介紹的算法。

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