用量子力學計算氫原子

摘 要：氫原子是最簡單的原子，在量子力學建立過程中有著特殊地位，有必要對其進行詳細的求解。該論文用量子力學理論，通過求解氫原子在庫倫勢場中的定態薛定諤方程，得到氫原子的能量及能量本征函數。

關鍵詞：量子力學 氫原子 能量 本征函數

中圖分類號：O413.1 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）06（a）-0193-01

從17世紀牛頓力學出現以后，直到19世紀，電動力學，熱力學和統計力學也陸續被建立，從而形成了一個完整的經典物理學體系?？墒?，在解決黑體輻射、光電效應等實驗時，經典物理學遇到了空前的挑戰，需建立全新的理論來解決面臨的困難。1900年，普朗克假說在黑體輻射上有新的突破，1905年，愛因斯坦用量子化解釋了光電效應，1913年，玻爾建立“玻爾理論”。但玻爾理論具有一定的局限性，十年之后，量子力學體系逐步建立起來，才完全解釋了原子問題。而氫原子是最簡單的原子。因此，有必要用量子力學的方法對其進行嚴格的求解。

1 理論計算

氫原子是最簡單的原子，它是由一個電荷為的原子核與一個電荷為的電子構成的。如果取無窮遠為勢能的零點，則質子與電子的庫侖勢能為V（r）=。則根據定態薛定諤方程可求出氫原子的能量及能量本征函。在以下的計算中，采用自然單位。為方便，給出氫原子的自然單位：長度的自然單位：，能量的自然單位：。氫原子的約化質量為，質子與電子的庫侖勢能為V（r）=。考慮到V（r）的球對稱性，我們采用球極坐標系。而因為[]=0，所以角動量是守恒的，在球極坐標系下，薛定諤方程可表示為：

[]=E （1）

由于的各分量是守恒的，而各分量不對易，則根據簡并定理可知能級有簡并。是守恒量，且與的每一個分量都對易，因此體系的守恒量完全集可以方便的選為（），方程（1）的解同時選為的本征態，即：

…… （2）

代入式（1），可得出徑向波函數滿足方程：

=0 （3）

和滿足方程：而為的本征值，待定。

對于式（3），若令，則在自然單位下滿足：

（4）

r=0，是微分方程的兩個奇點。

當時，按照波函數的統計詮釋，在任何體積元中找到粒子的概率都應為有限值。因此，求解徑向方程（3）時，只有漸進行為是∝的解才是物理上可接受的解。

當r時，我們只限于討論束縛態（E﹤0），則方程（4）可化為：

（5）

該方程屬合流超幾何方程。方程（5）在鄰域有界的解為合流超幾何函數：（6）

當時，無窮級數解～不滿足在無窮遠處的束縛態邊條件。為了得到物理上允許的解，只要等于0或負整數，可以滿足這一條件。按式（6）并將其添上能量的自然單位，得出氫原子的能量本征值：（…），其中：。與相應的徑向波函數可表示為：～其中（添上長度的自然單位），歸一化的徑向函數為：，

（7）

對于式（4），在球坐標系下，可表示成：

（8）

將式（7），（8）代入方程（4），并成為勒讓德方程得：

（9）

在-1≤≤1的區域內，有兩個正則奇點，其余各點均為常數。由此可知，只當（…）時，方程就有一個多項式解，即勒讓德多項式：（≤m≤），它在-1≤≤1區域中是有界的，利用正交歸一性公式，可以定義一個歸一化的部分的波函數（實）：（）。滿足。這樣，（10）

由此可得，氫原子的束縛能量本征函數為：其中為式（8），為式（11）。

2 結語

本文運用量子理論，求解了氫原子在庫倫勢場中的定態薛定諤方程，得到了氫原子的能量及能量本征函數：

（1）氫原子的能量為：，其中：…（主量子數）；（2）能量本征函數為，其中：，。

參考文獻

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