圖像的多尺度幾何分析及其應用

摘 要：小波分析聯合時間-尺度函數分析非平穩信號，從根本上克服了Fourier分析只能以單個變量描述信號的缺點，然而小波對于信號高維奇異性的幾何特征并不能夠稀疏的表示。多尺度幾何分析理論提供了線性奇異和面性奇異的高維函數的最優表示。本文主要綜述性的介紹了多尺度幾何分析的產生及發展，重點介紹了shearlet的算法，與其在邊緣檢分析中的應用，并展望多尺度幾何分析的發展方向。

關鍵詞：傅里葉變換 小波變換 多尺度幾何分析 shearlet 邊緣分析

中圖分類號：TP391.41 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）04（a）-0012-02

生物學家對人類視覺系統的研究結果表明，人類視覺系統能自動調節以使用較少的視覺神經細胞來捕捉自然場景的本質信息，在圖像表示中，如果圖像的表示方法有如下的五個特性，則能達到圖像的最優表示[1]。

（1）“多分辨率”，使圖像從低分辨率到高分辨率逐步的逼近目標，即帶通性。（2）“局域性”，在空域和頻域，我們所選擇的基函數必須是局部的，并且能隨尺度變化。（3）“臨界采樣”，具有較低的冗余結構。（4）“方向性”，用長條形的圖形逼近曲線，并且使用最少的系數逼近奇異曲線。（5）“各向異性”，基的長條形結構實際上是方向性的一種體現，并且這種長條形的長度寬度比例不同，能處理圖像邊緣輪廓的平滑性。

小波分析因為沒有“方向性”和“各向異性”只有其它三種特點而導致不具有對具有線性奇異和面奇異特點的高維函數最稀疏的表示[2]。尋找更有效的奇函數，發展一種新的高維函數的最優表示方法勢在必行，多尺度幾何分析（Multiscale Geometric Analysis MGA）[3]方法便應運而生了。多尺度幾何分析能滿足上述圖像有效表示的所有條件，在圖像分析中獲得了較大成功，體現出了一定的優勢和潛力[4]。目前，多尺度幾何分析工具主要有主要包括Ridgelet[5]，Curvelet[6]，Beamlet[7]，Contourlets[8]，Directionlet[9]，Shearlet[10]等。

1 Shearlet變換

Shearlet因其良好的多分辨性和多方向分解特性，使得它可以對圖像進行靈活的多分辨和多方向分解，對圖像中的邊緣和紋理等細節信息能給出接近最優的表示性能，是一種更為靈活的數字圖像表示方法。shearlet的構造方法為[10]。

令滿足以下三個條件。

（1），其中，為的傅里葉變換；

（2）為連續小波，，；

（3）且，在區間上，且；

則稱由，以及所生成的下列系統：

為shearlet系統，為shearlet的基函數，其中，分別為各向異性膨脹矩陣和剪切矩陣。則剪切波波變換定義為：

2 Shearlet變換在圖像邊緣中的分析

邊緣檢測和分析是多種圖像處理和計算機可視應用程序的主要任務。事實上，由于邊緣通常是自然圖像最突出的特征，因此邊緣的定位對于更高級別的應用程序來說是基本的低級任務，例如形狀識別、3D重現、數據增強和恢復等。

邊緣可以看作是函數的一些點，的定義域為，的梯度很大，即：

其中是某個適當選擇的閾值。很顯然，這種對邊緣的表示方法太簡單，并不能直接地轉化為一種有效的邊緣檢測機制，這是因為圖像通常會被噪聲影響且微分算子對噪聲極其敏感。因此，為了密切注視噪聲的干擾，在大多數常見的邊緣檢測機制中，圖像首先會被處理得平滑。例如，在經典的Canny邊緣檢測算法中，首先用可度量的高斯函數對圖像進行卷積為：

×

其中且。其次，邊緣點被標識為的梯度的軌跡最大值。注意，這種方法引入了一個定標參數，當減小時，邊緣定位的檢測變得更加精確；然而，當減小時，檢波器也會變得對噪聲更加敏感。因此，邊緣檢波器的性能極為依靠定標（也有閾值）。

在邊緣檢測和小波分析之間有個有趣而有用的關系，這個關系首先被Mallat，Hwang和Zhong發現，可以總結如下：給定一個圖像，可容許的實偶函數的連續小波變換表示為：

×

其中，特別地，如果，那么：

××

這表明了平滑圖像的梯度的最大值正好與小波變換的最大值相一致。這個發現提供了一種自然的數學框架用于邊緣的多尺度分析[11]。

以上描述的Canny邊緣檢波器或小波方法的主要限制是兩種方法在本質上都是各向同性的。因此，它們在處理邊緣的各向異性時不是很有效率。精確地標識邊緣位置是特別困難的，這是由于噪聲的存在以及當幾個邊緣靠得太近或者彼此交叉的時候，例如三維物體的二維投影。在這些案例中，以下傳統邊緣檢波器的局限性特別的明顯。

（1）辨別靠近的邊緣存在困難。各向同性的高斯濾波導致邊緣緊靠在一起，模糊成一條單個曲線。

（2）粗劣的角度準確性。在曲率或者交叉曲線的形狀突變中，各向同性的高斯濾波導致邊緣方位的不精確檢測。這會影響拐點和結點的檢測。

為了更好的處理邊緣信息，引入了很多方法來代替各向同性的高斯濾波器，例如易操縱的、可伸縮尺度的各向異性高斯濾波器：

其中且是旋轉角度的矩陣。不幸的是，這種濾波器的設計和執行需要計算，但卻沒有理論方法來說明如何設計這種濾波器來最好地捕捉邊緣。

Shearlet架構具有這樣一種優勢，即它可以提供已被證明了的數學方法來有效地描繪邊緣信息。事實上，連續的shearlet變換可以通過對邊緣的漸近線進行良好的縮放來精確地描述邊緣的幾何學信息。結果可以歸納如下。

設圖像是在的分段光滑函數。也就是說，假設在上的任意處都是光滑的，除了在有限多的分段光滑曲線上以外，用Γ表示有限多的分段光滑曲線，在中可能會有跳躍不連續點。則函數的連續shearlet變換的漸近線衰減特性如下[12]：

·如果，則對于每個，當時快速衰減。

·如果，是近且光滑的，則對于每個，當時快速衰減，除非是在點的標準方位。

·如果是的拐點且和是在點的標準方位，則當時對于所有其他方位來說，的漸近線衰減更快一些。

這里用“快速衰減”，意思是說對于任意，有某個使得當≤，時。

同時也觀察到脈沖類型的奇點與跳躍不連續點在連續shearlet變換的衰減是不同的。例如，假設一個中心在的Dirac增量分布。本例中，一個簡單的計算公式[12]表示為：

as

也就是說，在時的連續shearlet變換增長了。時衰減是迅速的。

以上這些理論表明了連續的shearlet變換精確地描述了邊緣和圖像的其他奇異矩陣點的幾何信息。這與小波變換形成了對比，小波變換不能提供邊緣方位的任何信息。因此，shearlet對于圖像的邊緣方面，有著更精確地描述。

3 結語

圖像的應用越來越廣泛，現代科技發展了一種“新”的多維工具，能夠捕捉圖像幾何結構特征，多尺度幾何分析技術，就是根據這些要求而發展起來的新理論，其中shearlet變換在圖像去噪，去模糊，邊緣的定位分析方面都有著優勢，但由于仍處于發展初期，有許多理論基礎、應用潛能和仿真的結果證明尚待開發和完善。

參考文獻

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