加權復雜網絡的研究現狀分析

摘 要：復雜網絡的研究已成為當今世界的核心科學問題之一，而現實世界中很多網絡都是各個連接間具有不同權值的加權網絡，采取一定的方法研究網絡的靜態統計特性、網絡上的動力學特性和網絡演化模型等方面的內容對現實的指導意義頗大。本文對加權復雜網絡的研究現狀及研究方法進行了分析。

關鍵詞：加權網絡 權重 賦權方式

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）05（b）-0013-01

近年來，越來越多的學者對復雜網絡產生了興趣，來自各個不同領域的研究者正對復雜網絡的發展進行著密切的研究，復雜網絡以及加權復雜網絡的各種性質正逐漸被揭示出來。構建一種能較好模擬現實網絡的復雜網絡模型是每一個研究者的目標。

復雜網絡經歷了規則網絡、隨機網絡、小世界網絡和無標度網絡幾個階段。在現有文獻中大多數的研究都是針對無權網絡的，但現實世界中很多網絡都是各個連接間具有不同權值的加權網絡，例如航空網、科學家合作網等就是典型的加權網絡。加權網絡能夠對實際復雜網絡的動力學演化特性提供更加真實、細致和全面的描述。因此，對加權網絡研究的重要意義是顯而易見的。

1 研究現狀

復雜網絡就是由節點和連線畫出的一種網絡。在考慮實際網絡的時候，我們通常關心的是節點之間是否有邊相連，而不考慮不同節點間連接的緊密程度—即邊的權值。事實上，許多網絡的節點間相互關系的強度是不同的，僅知道邊的有無還不足以準確反映個體之間的關系和差異，此時就不能再將系統抽象成無權網絡了，必須引入一個新的維度來描述和區分邊與邊之間的這種差異性。權重將提供更加細致的刻畫，加權網絡的研究就在這種要求下誕生了。事實證明復雜加權網絡能夠更貼切地描述實際復雜系統，提供了人們深入探索實際復雜系統特性和復雜行為的一個數學工具，也拓展了復雜網絡在實際中的應用。

實際的許多系統都可抽象為加權網絡，例如人際交往網絡，對于傳染病的傳播，有無接觸雖然起著決定作用，但頻繁接觸者和偶爾接觸者被感染的幾率應該不同。在科學家合作網中，任意兩個科學家之間的合作次數是不同的，合作一次與合作十次對信息傳播的貢獻顯然不一樣，應用不同的邊來表現兩個人合作的親密程度和思想傳播的難易程度，此時就需要根據實際情況給每條邊賦予權重才能反映出現實網絡的特點。因此研究網絡的權值問題是有必要并且是有意義的。

目前對加權網絡的研究主要集中在網絡靜態統計特性、網絡上的動力學特性和網絡演化模型等幾個方面。對于加權網絡統計特性研究：除要研究拓撲結構之外，還需要分析在拓撲結構上的權值分布情況，以及引入權重以后網絡幾何量的重新定義和實證分析等方面工作。研究結果表明：在許多實際加權網絡中，除了冪律度分布、平均最短距離小、聚類系數高這些無權網絡所具有的基本特點外，點權和邊權也遵從冪律分布。

對于加權網絡上動力學特性的研究：加權網絡將不同的邊賦予了權值，必然會影響各種物理量如信息、流量等在網絡上的動力學特性。Brau nstein等[1]引入了隨機權值，研究了這種加權網絡中權重隨機性強弱對最優路徑的影響。Crucitti等[2]基于網絡上流量簡單再分配過程，研究了加權網絡關于一系列點（或邊）癱瘓與失效的模型，指出負載量最大的節點受到攻擊將會最大程度地降低網絡的有效性，甚至使系統癱瘓，這對于具有負載廣泛分布的Internet網和電力網等實際網絡預防攻擊是有重要意義的。

對于加權網絡的建模研究：在加權網絡中，模型的建立以及運用必須充分考慮各個網絡節點和通路由于不同的實際權值所造成的網絡總體統計特性的極大差異。最近，Zheng等[3]研究了隨機分配權重的加權網絡模型；Gao和Zhao等[4]首次提出了網絡形成的機制源于系統的階段平衡，這種平衡是確保新加入節點不能再通過改變自身的選擇而獲得更大的效用。

2 研究方法

（1）建立復雜網絡模型。自然界中存在的大量復雜系統都可以通過形形色色的網絡加以描述。比如人際關系網絡：以人為節點，以“認識”為連線，全中國某一天的人口就組成一個復雜網絡。在交通系統中，以地點表示節點，以公路、鐵路或航線表示邊而建立起來的公路網絡、鐵路網絡和航空網絡等等。這些關系網都可以用一個復雜網絡的數學模型來表示。

（2）復雜網絡的權值研究。采取一定方式給網絡的邊賦權值，計算并分析點權的分布規律。通常采取以下三種方式給網絡的邊賦權重：①常數權重：網絡中每條邊的權重均為常數構建的加權網絡。②服從指數分布的邊權重：假設邊的權重服從指數分布，即，其參數為>0。③服從節點度乘積分布的邊權重：設節點i與節點j的度分別為和，則連接這2個節點的邊權重定義為：，其中可有效地調節節點強度大小。（3）加權網絡的穩定性分析。可以采用選擇性攻擊和隨機性打擊的方法考察加權網絡的容錯能力和抗攻擊能力，討論網絡的靜態統計特征量的變化及特點。（4）實際應用。以現實世界的各個網絡為例抽象出相應的加權復雜網絡模型，并對其統計特性及動力學特性進行研究，得出相應分布規律，以指導實際。例如，公交站點網絡，通過模型的建立及靜態統計特征量的分析，可以給出緩解交通壓力的方案，以指導實際。

3 結語

現實世界中的大多數網絡都是加權網絡，所以越來越多的人加入到加權復雜網絡的研究隊伍，研究其幾何性質、形成機制、網絡演化的統計規律、網絡模型的性質以及網絡的結構穩定性，并把它與真實系統結合起來。但由于目前對小世界網和無標度網相關的工作還相當有限，并且復雜加權網絡已展示出比拓撲網絡更廣泛的統計特性，所以對于復雜加權網絡的研究尚處于早期階段，還有許多問題有待解決，許多方面要加強探索，許多相關課題值得進一步研究。

參考文獻

[1] Braunstein L.A.Buldyrev S.V.Cohen R.et al.Optimal paths in disordered complex networks.Phys.Rev.Lett. 2003，91：168701.

[2] Crucitti P.Latora V.Marchiori M.. Model for cascading failures in complex networks.Phys.Rev.E，2004，69（4）：045104.

[3] Zheng D.Trimper S.Zheng B.et al. Weighted scale-free networks with stochastic weight assignments.Phys. Rev.E，2003，67：040102.

[4] 高自友，趙小梅，黃海軍，等.復雜網絡理論與城市交通系統復雜性問題的相關研究[J].交通運輸系統工程和信息，2006，6（3）：41-47.