推開問題研究的一扇窗

2010年，開福區小學數學名師工作室成立，首席名師劉友華老師帶著各位成員和學員展開了不少有意義的教研活動。作為工作室學員之一的我有了更多的聽課研討、培訓進修的機會。記得2010年12月，劉友華老師帶著我參加了在北京召開的“中小學數學教育專項課題”開題論證會。在這次會議上，我第一次近距離聆聽史寧中、劉堅等知名專家的發言與講座，同時有幸認識了北京師范大學基礎教育課程研究中心研究員任景業老師。在任老師的辦公室里，我們認真學習了北京一些小學所做的學生研究成果，知道了可以從哪些角度研讀學生，明白了哪些案例是有研究價值的，理解了發現問題、研究問題對于一個一線教師成長的重要作用。

帶著學習收獲和對未來的期盼回到長沙，我在工作室的帶領下開始一點一滴地進行嘗試和研究。我的第一次嘗試是由一道階段測試題開始的。

在2010年秋季的期中測試中，我們四年級的數學試卷里出現了這樣一道填空題：周角=（ ）°。一看到題目，我的心里就咯噔一下。在四年級上冊學生雖然學習了周角的有關知識，但是分數的認識是在一年以前，也就是三年級上冊的時候學習的。而且周角這樣的表現形式，學生從沒有接觸過，他們能明白這道題的意思？能做出來嗎？在閱卷的時候，我發現孩子們做得還不錯，比我想象中要好許多。以我所執教的班為例，抽查的52份試卷中，有39人回答正確，只有13人回答錯誤或不作答。于是，我有了這樣的思考：分數是小學階段很抽象、很難懂的數學知識，很多老師在三年級、五年級和六年級都針對分數知識開展了不少的教研活動，但是很少有老師從四年級學生的角度去了解他們是如何理解分數的。他們現在理解的分數與三年級剛開始學習時有質的飛躍或者新的看法嗎？他們的認識對后續的分數單位的學習是否有一定的幫助呢？為了解決這些困惑，我通過幾次活動開展了關于分數認識的教學調研，以便更好地了解學生、讀懂學生。

我向劉友華老師匯報了上面的思考，劉老師先是肯定我善于發現問題，然后建議我通過談話、問卷、活動等方式展開一些調查和研究。于是，我進行了下面的測試。

■：陰影部分是整個圖形的■。

■：白色部分是整個圖形的■。

■： 每個小長方形是1，整個圖形有4個這樣的小長方形，所以就是■。

■：每個小長方形是1，白色部分有3個這樣的小長方形，所以就是■。

■：把整個圖形豎著平均分成2份，陰影部分占一份里面的一半，所以是■。

■： 白色部分分成3份，陰影部分相當于白色部分的一份，所以就是■。

問題2：這張紙中（如下圖），陰影部分占這張紙的幾分之幾？

學生對這道題的回答以■、■、■居多。

當教師問到如何驗證哪個答案正確的時候，學生提出用折紙的方法將紙進行平均分，然后看看陰影部分占這張紙的幾分之幾。接著在折紙驗證的過程中學生又有了更多的答案：■、■……

在研究過程中，我欣喜地發現：原來學生的觀察能力這么強，每個學生幾乎都能從不同的角度觀察圖形，絲毫不受別人的影響，并且能很好地運用分數的知識來表示自己所看到的圖形。在查閱資料的過程中，我還有新發現：我做的調研結果與《小學數學研究》上杭州市唐采斌老師提供的調查結果是吻合的，四年級的學生相對于三年級、五年級、六年級的學生來說，對分數單位的選擇更具有靈活性，這些數據為我們研究和調整高年級分數教學提供了有力的科學依據。

研究結束后，劉友華老師建議我將研究的過程記錄下來，并且投稿。對于從來沒發表過文章的我來說，壓根就沒想過自己的文章能夠發表。但是，讓我驚喜的是，我根據這次研究撰寫的《探尋學生心目中的分數》一文很快就發表出來。第一次嘗試的成功使我有了更多的研究熱情和動力，經過多次觀摩學習劉友華老師等各位名師的教學，我慢慢修正自己的常規課堂教學，放手讓學生自己研究問題，學生之間的交流漸漸成為課堂的一道亮麗風景線。

2012年暑假，劉友華老師告訴工作室幾位老師，工作室將要承擔湖南省“生活數學”夏令營五年級組的策劃組織活動。劉友華老師跟我們幾個老師說了她對這次活動的初步思考和安排后，大家分工協作完善活動方案。我當時提議結合五年級的立體圖形知識，開展“我來設計容積最大的無蓋長方體盒子”的動手活動，現場提供一張長30厘米、寬24厘米的長方形紙片，讓學生自行制作一個高為整厘米數的無蓋長方體盒子，使它的容積最大。我的思考源于五年級下冊長方體和正方體知識的教學內容：一塊長30厘米，寬25厘米的長方形鐵片，從四個角各切掉一個邊長為5厘米的正方形，然后做成盒子。這個盒子用了多少鐵皮？它的容積是多少？在課堂上，因時間的關系，我們無法更好地觀察學生對這道題的思考情況：平面圖形轉化為立體圖形是否是學生的障礙？還有哪些會是解題的障礙？教師針對學生的學習障礙如何提供相應的輔導？這個活動可以讓老師更好地觀察分析不同地區學生的解題能力。我的議案得到了劉友華老師的贊同，我們商討了具體的實施方案與措施。

開展活動的當天，我們發現，學生很快就投入問題的探究活動之中。學生的想法各不相同，即使是同一地區、同一學校的學生都有不同的嘗試方法。

有的學生一開始就問：紙片剪下的部分能不能再補回圖形當中？這樣盒子的容積更大。有的學生不明白一張紙片如何能制作成無蓋的盒子，就嘗試將長邊和寬邊向上折，發現要做成盒子必須剪下一些多余的部分，而剪下來的一角正好是一個正方形。有的學生可能對書上的知識還有點印象，但是記不清在長方形紙的四個角是分別剪下一個長方形還是正方形，就可以做成無蓋的盒子。所以他們先嘗試剪下四個長方形試一試，然后發現折起來后盒子一邊高一邊低，才悟到應該在四個角分別剪去一個相同的正方形。也有的學生一開始就拿著紙在算：當高是1厘米時，盒子的容積是多少，高分別是2、3、4厘米時，容積又是多少，然后再按照盒子的長、寬、高去裁剪紙張。

活動結束時，19個參賽組全部完成任務，成功做出了無蓋的長方體盒子，只有4個組的作品不符合容積最大的要求。學生在活動中從一步一步嘗試，到逐漸明晰思路，再交流意見、統一看法，最后計算并找出容積最大的盒子。如此有挑戰性的活動令學生興奮不已，各地領隊教師都高興地說：這樣的活動太有價值了，充分展示了學生的智慧和解決問題的能力。

在劉友華老師主持的數學名師工作室學習研修的三年時間里，我再一次體驗了成長的快樂，學會了放下心中的各種顧慮，相信學生、鼓勵學生，讓他們把學習的主動權掌握在自己的手中。聆聽學生在課堂上嘰嘰喳喳的討論聲，欣賞一張張綻放喜悅的可愛笑臉，是一個數學教師的幸福。在名師工作室的研修歷程讓我明白了如何開展自己未來的教學工作，如何幸福地享受工作所帶來的喜悅。我堅信謙虛、努力、實踐是實現自我價值的動力。

（本欄責編 肖 飛）

問題1：在下圖中，請用一個分數來表示。

學生給出了豐富多彩的答案：