逆向思維在數學解題中的應用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）11-0132-01

在數學解題或證題中，當從正面不易或無法求得解時，逆向思維便成為一種合理的思維方法，這里所說的逆向思維是指排除法和反證法兩種。現就這兩種方法介紹如下：

一、排除法

這種方法是先考察結果的對立面，把不符合條件的求出來，然后再從總體中排除（淘汰）那些不符合條件的，最后使問題得解。

例1：如果二次函數的y=mx2+（m-3）x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側，試求m的取值范圍。

分析：若從正面求解，即正向思維必須分別就“兩交點均在原點右側”，“一個交點在原點左側”等情況一一求解，這樣解答雖可行，但繁瑣。為此，我們逆向思維，即從反面思考，用排除法求解。

解：當函數圖象與x軸的交點均在原點的左側時，由一元二次方程有兩非正實數根的條件得

△=（m-3）2-4m≥0■<0■>0 解得m≥9或m≤1m<0或m>3m>0

綜合得m≥9，其對立面m<9。因為二次函數的圖象與x軸有交點，所以還必須△≥0，m≠0。因此，函數圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側的條件是m≤1且m≠0。

例2：若三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個方程有實數解，試求實數a的范圍。

分析：正向思維因情況復雜，不易得到結果，注意到“三個方程至少有一個方程有實數解”的對立面是“三個方程都無實數解”，于是，從全體實數中排除三個方程都無實數解時a的范圍，便為本題所求。

解：（4a）2-4（-4a+3）<0（a-1）2-4a<04a2-4（-2a）<0 得到-■

當a滿足上式時，三個方程都無實數解。因此當三個方程至少有一個方程有實數解時，a的范圍是：a≤-■或a≥-1。

二、反證法

即命題結論的反面不成立，而間接證原命題成立的一種間接證法。若結論的反面只有一種情況，只要否定這種情況，就足以證明元結論的正確性，這種反證法叫作歸謬法。如果待證的命題的結論反面有多種情況，那么就要把所有這些反面情況全面例舉出來，一一加以否定之后，才能肯定結論是正確的。這種反證法叫作窮舉法。

例3 ：已知a、b、c、d都是有理數，■、■是無理數，且a+■=c+■。

求證：a=c，b=d。

證明：假設a≠c令a=c+λ（λ≠0且為有理數），則λ■=■。

平方得■=■即■為有理數，與題設矛盾。

∴a=c從而b=d

例4：已知：△ABC和△A′BC有公共邊BC，且A′B+A′C>AB+AC。

求證：A′點一定在△ABC的外部。

證明：若A′不在△ABC的外部，就有兩種可能情況：

①假設A′在△ABC的AC邊上（圖1）

則AB+AA′>A′B，

即AB+AC>A′B+A′C。這與已知條件矛盾，故（1）不成立，同理，A′也不能在BC邊上。

②假設A′在△ABC的內部。我們延長BA′交于AC于D（圖2）

則AB+AD+BD=BA′+A′D。

又AD′+DC>A′C，則有：

AB+AD+DC>BA′+A′D+DC>B′A+A′C

即AB+AC>A′B+A′C這與已知條件相矛盾，故A′不可能在△ABC的內部。綜合（1）、（2），得A′一定在△ABC的外部，命題得證。

由以上四例可見，逆向思維是一種重要的解題思維，它在數學教學中有著廣泛的應用，因此，教學中要精選范例，給學生以啟迪。