淺析高等數學學習中的辯證法思想

【摘要】高等數學中蘊含了十分深刻的唯物辯證法思想，用辯證法思想來指導高數教學，有助于培養學生良好的數學思維方式和分析問題解決問題的能力。所以高數教師掌握哲學原理并將其應用于教學是十分必要的。本文就哲學量變到質變，一般到特殊，具體到抽象等方面，討論了辯證法思想在高數學習中的應用。

【關鍵詞】高等數學 辯證法 函數

【基金項目】川油氣科（SKB13-08）。

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）11-0149-01

微積分為主要內容高等數學是非數學專業一門重要的公共基礎課。不僅對學生后繼課程的學習和思維素質的培養起著重要的作用，而且對培養學生的抽象歸納能力、創新意識及創新能力有著重要的意義。但絕大多數學生面對高等數學里抽象繁多的概念理論，計算的復雜性加上授課時間短等特點而產生厭學頭疼情緒。如何幫助學生學好這門課程，是所有工科數學老師面臨的共同難題。

偉大的思想家、哲學家恩格斯說過：“要想表示事物運動狀態、形成和發展過程，唯一可以實現或達到目的的只有微積分。”唯物辯證法是揭示事物本質矛盾的方法，是探求真理與知識的重要途徑。尤其是辯證法的方法論指導我們要用辯證的思維去學習高等數學，會讓原本枯燥無味理論知識變得具體生動有趣，從而有利于提高我們學生自身的觀察能力、思維能力、推理能力和創新能力；增強分析問題解決問題的能力。本文就辯證法理論聯系實際，一般到特殊、具體到抽象，量變到質變等方面，討論辯證法思想在高數學習中的運用。

一、理論聯系實際

馬克思唯物主義講究理論聯系實際，只做不想或只想不做是行不通的。同樣，在高數的學習中，我們也必須要學和用聯系起來，這樣才會使這門課程的學習生動活潑，饒有興趣。微積分原本來源于實際生活。極限思想在圓周率，曲邊三角形等近似計算中就有所體現，而導數概念則包含了物理和幾何背景，是人們在實際中提出問題，理論上解決問題，最后把結果推廣到各個領域加以運用。可以說微積分知識成就了各個領域的發展和完善。因此在高數學習中，一定要理論聯系實際，只有這樣才能學有所獲，學有所用。如果將理論與實際應用脫離，學起來不但顯得枯燥無味，興趣黯然，而且不會領會其精神，更談不上創新。

二、一般到特殊，具體到抽象

辯證法的認識論說明了人們認識事物的一個簡單原理，即一般到特殊，具體到抽象，而大學高數的學習恰好符合這一原則。例如，由以前的數引導到符號，即變量的名稱；由符號間的關系引導到函數，即符號所代表的對象之間的關系。這就把同學們的理解力從以前的數推進到變量、從描述推進到證明、從具體情形推進到一般方程，開始領會到數學符號的威力。在此過程中，高等數學首先就幫助學生發展了函數概念——變量間關系的表述方式。學習微積分，是從簡到繁，從具體到抽象來講解的。先介紹一元函數微積分，然后二、三元函數微積分，最后將其推廣到多元函數的情形。如果低維的情形了解掌握了，那么一般有限維的情形也就容易了。回過頭來當你縱覽這些知識時，不會感到陌生，相反會讓你更加深刻地領會到概念的實質其實都是一樣的，只是細節少許有差別而已，由此可以做到舉一反三了。

三、現象與本質，偶然與必然

透過現象看本質，在高數的學習中這樣的例子比比皆是。一元函數的可導與可微恰恰說明了這點，導數是用極限來定義的，是關于函數變化率的問題；而微分是用函數變化率的線性主部來定義的，用于近似計算。兩問題出發點雖然不同，但從側面揭示了同一問題的本質特征。因此對一元函數的可導與可微是等價的。又如牛頓-萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式研究的是完全不同形式的積分，但如果仔細分析就會發現反映都是區域上積分與其邊界上積分的相等的問題，其本質是相同，只不過不同的幾何形式對應的表達式形式不同而已。如果明白了這點，對于各種各樣的積分公式就不會陌生了。

四、運動、發展與聯系

唯物辯證法認為世界上的萬事萬物都處于運動變化的過程中，沒有絕對的“靜止”。而微積分恰好處理的是“運動”著的量——變量，即函數，盡管也有“靜止”的量，如常函數，常數列，不過這只是特例，屬個別現象。而其主要內容則是函數概念中的因變量、之間變量和自變量之間的關系。無窮小量是“運動著”的0，無窮大量是運動過程中的越來越大。此外，更為重要的是，整個世界是普遍聯系的一個整體，任何事物都不是孤立存在的，這就要求我們深挖變量之間的關系，而函數概念卻深刻的反應了變量之間的這種依存關系。極限概念描述了一個變量的變化引起的另一個變量改變的變化趨勢，又如，數列極限的“ε-N”定義中的ε，就是變量與常量的統一。連續性、可導性則說明了變量與改變量之間的變化關系。又如微分中值定理與積分中值定理，表面上看公式形式不同，一個涉及到導數，一個涉及到積分，但仔細分析，就可發現這兩個定理是可通過牛頓-萊布尼茨公式建立橋梁可以相互轉化，是聯系的而不是孤立的。總之，運動聯系思想貫穿于高數的整個學習之中，理解了這點就不難領會微積分為何要討論這些內容了。

五、量變到質變

唯物辯證法認為，任何事物都具有質和量兩中基本狀態。質具有內在性，而量具外在性。任何事物的發展變化不可能沒有量變，也不可能沒有質變，有區別有聯系，都是質和量的統一體。外在量的變化積累到一定程度必然引起內在質的變化，質的變化是事物本質的變化。在高數學習中，導數概念的建立以及定積分概念的建立，就充分反映了這種近似向精確轉化的典型方式；又如定積分定義的基本原型是曲邊梯形的面積，求曲邊梯形面積采用微元法，而微元法采用分割、近似、求極限的過程，其基本思想也是先近似再精確，借助于極限方法從有限轉化為無限，從量變過渡到質變。閉區間連續函數的性質討論也是一個典型的例子。函數在某一點處連續并沒有什么特殊之處，但當它在某一閉區間上每一點連續時，函數就具備了很多完美性質，如最值定理，介值定理，零點定理以及一致連續性等等，而這些性質在整個實數理論中占據重要地位，也為后續研究打下基礎。又如收斂數列極限中，隨著的無限增大，數列的項無限接近于某一確定的數，當有項變到無項時，這種量的變化最終引起了質的變化，將變量變成了唯一常量。可見只有當量積累到一定程度才能發生質的變化。

六、結語

總之，高等數學內部處處蘊含著辯證思想，辯證法觀點在數學成果的推動下不斷進步。為培養出新型復合性創新人才，數學老師應將辯證法思維融入數學，使學生掌握完整系統的知識，有助于引導學生將所學知識應用于實踐，使抽象枯燥的數學變得具體生動。

參考文獻：

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