淺談分類討論思想在中學數(shù)學教學中的應用

摘要：數(shù)學分類討論思想是根據(jù)數(shù)學本質屬性的相同點和不同點，將數(shù)學研究對象分為不同種類的一種數(shù)學思想。初中數(shù)學教材和學習輔導資料中常有這樣的問題，中考數(shù)學試題中也經(jīng)常會出現(xiàn)與分類有關的問題。在初中數(shù)學教學中使用分類討論的思想探究和解決問題，有助于學生更好地理解和解決問題，并能幫助學生把握解題的思路和技巧，做到舉一反三，從而有利于培養(yǎng)學生的學習興趣，使他們從數(shù)學學習中獲得樂趣。

關鍵詞：數(shù)學思想；分類討論；解題策略；數(shù)學策略

一、問題的提出

有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。而這部分內(nèi)容對學生來講又是一個難點，很容易被學生忽略，所以教師有必要對這部分內(nèi)容進行深入的研究。解分類討論問題的關鍵在于：將整體問題化為若干個部分來解決，增加題設的條件，從而將問題解答等進行到底，這正是我們要分類討論的根本原因。

二、分析問題

根據(jù)研究對象的不同，將解決的問題進行分類，也就是說根據(jù)題目，將可能出現(xiàn)的結果一一列舉出來，再按照順序進行解答，關鍵是在列舉時要做到準確、全面，盡可能將所有的方面全部列舉出來，做到不漏不重。

三、解答分類討論問題的基本方法和步驟

第一步：確定討論對象，即題目所考察的知識點學生必須清楚；第二步：對討論的對象合理分類，即把所有可能的結果一個不漏地列舉出來；第三步：按類討論問題的結論，即討論前一步中列舉出來的各種；第四步：對各類的結論進行歸納總結，總結出解這一類題目的解題方法，以后碰到這類題目時我們就會得心應手。

四、中學數(shù)學教材中分類討論的知識點

數(shù)學解題的準確性是建立在學生對基礎知識的掌握上的。學生應掌握的知識點有：反比例函數(shù)y=k/x的反比例系數(shù)k，正比例函數(shù)的比例系數(shù)k，一次函數(shù)的斜率k與圖像位置及函數(shù)單調(diào)性關系；絕對值概念的定義；根式的性質；一元二次方程根的判別式與根的情況；二次函數(shù)二次項系數(shù)正負與拋物線開口方向等。在這里就不具體將它們一一贅述了。

五、分類討論思想在中學數(shù)學中的應用

例1：解不等式（a+1）x>a2-1

如果不加區(qū)分a+1>0或a+1<0，得x>a-1，那就不對了，因為根據(jù)不等式性質，給不等式兩邊同乘以不為零的式時，不等式要改變方向既可以a+1>0，或a+1=0，也可以a+1<0。不同的情況下a+1>0有不同的答案。

當a+1>0 即a>-1時，則x>（a2-1）/（a+1）= a -1；

當a+1=0即a=-1時，原不等式為0·x>0，故不等式無解；

當a+1<0 即a<-1時，則x<（a2-1）/（a+1）=a-1。

這里將a劃分成三類：a>-1，a=-1，a<-1。

例2：已知在△ABC中，∠A=30°，當∠B是多少度時，△ABC是等腰三角形？

分析：本題沒有明確哪個角是頂角，故要分∠A、∠B、∠C分別為頂角三種情況討論。

即：∠A為頂角時，∠B=75°；∠C為頂角時，∠B=30°；∠B為頂角時，∠B=120°

例3：函數(shù)y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個交點，求a的值與交點坐標。

分析：本題中函數(shù)是什么函數(shù)沒有確定，故要根據(jù)初中學生已有的函數(shù)知識，根據(jù)a的不同取值，分別考慮此函數(shù)是一次函數(shù)或者二次函數(shù)兩種情況。

解：當a=0時，為一次函數(shù)y=3x+1，交點為（-1/3 ，0）；

當a不為0時，為二次函數(shù)y=ax2+（3-a）x+1，函數(shù)圖像與坐標軸有一個交點，所以△=0即

b2-4ac（△）=a2-10a+9=0，

解得a=1或a=9，交點為（-1，0）或（-1/3，0）。

六、幾何中常見的問題

例1：與線段有關的問題

1.線段AB=7cm，在直線上畫線段BC=3cm，則線段AC= 。

2.A，B兩點到直線L的距離分別為m，n（m

例2.三角形高的位置

（1）等腰三角形一腰上的高與腰長之比為1：2，則等腰三角形的頂角為 。

（2）等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊長的一半，則其頂角度數(shù)為 。

例3：與圓有關的問題

知識點：一條弦所對的弧有兩條，所對圓周角有2個。

1.已知⊙O半徑為6cm，⊙O的弦AB=6cm，則弦AB所對的圓周角度數(shù)為 。

2.A，B是⊙O上兩點，且∠AOB=70，C是⊙O上不與A，B重合的任一點，則∠ACB= 。

3.弦長是半徑的倍的弦所對的圓周角為 。

4.如果圓中一條弦長與半徑相等，那么此弦所對的圓周角的度數(shù)為 。

5.⊙O直徑AB=4，弦AC=2，AD=，則∠DAC= 。

6.在⊙O中，弦AB將其分成3：7兩部分，則該弦所對的圓周角度數(shù)為 。

七、小結

在初中數(shù)學教學過程中，我們應該充分利用初中學生已經(jīng)具有的關于分類問題的生活體驗的這一基礎，在遇到分類問題時，要不失時機地進行引導，使學生明確每一種意義下的分類都應該有明確的標準，同一種事物按不同的標準則有不同的分類，應該是無重復和無遺漏的。數(shù)學教學中，教師在進行數(shù)學思維訓練時，應多鼓勵學生用新方法、新思路，拓寬思維領域，以克服思維的呆板性，培養(yǎng)學生多角度、全方位思維的習慣，加快思維速度，以培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維能力，從而達到分類思想在數(shù)學中的有效應用的目的。

參考文獻：

1.濮安山.中學數(shù)學教學論[M].哈爾濱工業(yè)大學出版社，2004.

2.張奠宙.現(xiàn)代數(shù)學思想講話[M].江西教育出版社，1991.

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