淺談課堂教學內容的過渡與銜接

本人與新疆漢語言骨干教師于2011年進行了為期一年的進修學習，培訓班的學員曾對高中新課改一些內容進行過探討，在一些內容上的處理方法就如何更好地過渡與銜接形成了一些看法。

課例片段1：怎樣從銳角三角比過渡到任意角的三角比？

筆者訪談了一位實習生A在講課時是這樣處理的：先復習銳角的三角比，然后把角的終邊放在第二象限，在角的終邊上任取一點，作x軸的垂線，形成了一個直角三角形。然后如銳角三角比那樣定義任意角的三角比。他這樣做了之后，問學生：“你們懂嗎？”學生齊答：“不懂。”或許我們應該寬容實習生，畢竟沒有教學經驗啊。該如何過渡與銜接呢？筆者和實習生B就在定義任意角三角比時是否要作直角三角形進行了討論。討論的結果是，如果在給出定義時，不作直角三角形，但在求特殊角三角函數值時，又要作出直角三角形以便于求值，這在邏輯上說不通，不好對學生交待。因此在定義時還是要作直角三角形為妥。這是取得的第一個共識。

其次，我們一起討論了“兩個過渡”：為什么要在直角坐標系中研究銳角三角比？從直角坐標系中的銳角三角比過渡到任意角的三角比的基礎是什么？經過一番爭論后發現：當在直角坐標系的銳角的終邊上任取一點并標出坐標（x，y），再作出直角三角形時，x，y有雙重含義，一方面表示直角三角形的邊長，這是強調幾何竟義，另一方面表示點的坐標，這是強調代數意義。當強調幾何意義時，是初中的銳角三角比定義的基礎。當強調代數意義時，是高中的三角比定義的基礎。因此，在教學時，就要強調坐標方法的運用，這是看問題視角的變化。

課例片段2：怎樣從角度制過渡到弧度制？

弧度制是教學中的一個難點。實習生一般不能很好的把握好這節課，指導教師對這節課很擔心。事實上，即使是指導老師上這節課，學生依然不容易形成弧度制的概念。實習生D對筆者說：“學生對弧度制理解不夠深刻，根本不知道弧度制來干嘛的，好好的60度為什么要寫成另一種形式呢，在他們看來只是多了一次轉換的機會，他們對弧度制沒有概念。”筆者又問她該怎樣從角度制過渡到弧度制。她說：“我會對比著講。把圓周分成360等份，每一等份對的圓心角就是一度的角。”筆者認為這種講法在邏輯上的確很順暢，但是學生還是不知道弧度制概念產生的必要性和合理性。

筆者通過查閱資料發現，把圓周角分成360等份具有偶然性和主觀性。因此相對于弧度制而言，角度制的一系列不方便源于分圓周的任意性。這也可作為弧度制在理論上比角度制優越的一種解釋。從上述分析可以看到，角度制與弧度制的共同點都是要等分圓周，只不過把圓周分成360等份是歷史形成的一種規定，而弧度制把圓周分成若干等份是一種客觀規律，理科學更合理。對同一圓周用不同的單位度量，自然形成相應關系，正如分別以公里和米量一段1000米的距離時，總有1公里=1000米一樣。因此從角度制到弧度制的過渡與銜接是如何更合理、更科學地等分圓周。在教學時，一定要牢牢地抓住這個“關節點”。實習生D深有感觸地對筆者說，如果要她上這節課，她會查很多書的，單看一本教材，她是不會講的，照著書念沒意思啊，尤其是數學史。

課例片段3：怎樣引入兩角和與差的余弦公式

兩角和與差的余弦公式在教材中具有非常重要的地位，是后續三角變換公式的基礎。歷史上，托勒密在制作弦表時首先發現了這個公式，其思想實質是用小角表示大角，用小角的三角函數值表示大角的三角函數值。筆者和實習生D進行了探討。她說，她不愿意按教材上的思路講這節課，因為從小學至現在，都是先講加法后講減法的，筆者也同意她的這種觀點。但先講和角公式，所用的研究方法是解析的方法，所用的觀點卻是幾何的觀點。因此，先講和角公式，解析的觀點和幾何的觀點雜糅在一起，教師在處理時更要處理好兩種觀點的銜接與過渡。實習生B的看法雖然很有道理，但是從更廣的范圍看，還是值得商榷。

事實上，和角公式與差角公式，可以統稱為加法定理。許多重要的函數f（x）都有自己的加法定理。就是把f（x+y）與f（x）、f（y）聯結起來的公式。三角函數的加法定理只是其中的一個特例。鑒于此，還是先講和角公式為好。實習生D是直覺上有這種想法。實習生D的公開課很成功，評課老師的評語是“山的沉穩”。筆者建議實習生B在講授這節課時，先講和角公式，然后得出差角公式。為了利用教材處理方法的優點，可以讓學生試著由差角公式推導和角公式，更好地發散學生的思維。因為邏輯的起點可以任意選取，于學生演繹思維的培養是有利的。

綜上所述，可得如下啟示：筆者在調研中發現，很多實習生雖然在大學里學了那么多的數學，但似乎在實踐中用不上。事實上，他們若有關于某一課題的歷史知識，就易于看清了知識產生的動機、知識的演變歷程，就為把握教材提供了可資借鑒的東西。術無道不遠。我們要改變數學史宏大的述事方式，要更加關注微觀層面的東西，使之更好地為教學服務。

（責任編校：蓉莞）