線性相關性若干問題的分析和研究

摘要：線性相關性是線性代數的重點和難點，該文主要針對線性相關性判定，以及與線性相關性密切聯系的線性空間和線性變換的幾個重要問題，即向量組極大無關組、秩、基、維數，齊次線性方程組的基礎解系，線性空間的子空間的求法，子空間的交與和，線性變換的值域與核等問題進行了深入細致的分析和研究。

關鍵詞：線性相關 線性無關 向量 極大無關組

中圖分類號：O1；O151文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）05（a）-0009-02

線性相關性[1]是線性代數的重點和難點，所涉及的內容包括行列式、矩陣、線性方程組，并為向量組的極大無關組以及向量組的基和維數，齊次線性方程組的基礎解系奠定了基礎，也是學習高等代數[2]中線性空間、線性變換和歐氏空間的一個重要工具。對于此部分以及相關部分的學習是一個難點，它的抽象性是記憶猶新的，尤其是在學習這些部分的在校大學生也肯定體會到它們的重點和難點[3]，因此我們的確有必要對線性相關性有關的代表性問題進行深入細微的分析及研究。本文所涉及的問題對正在學習和復習這部分讀者可能會有幫助，這也正是筆者所期待的。

問題1 向量組線性相關性的判定[4]方法。

對于向量組的線性相關性的判定有以下三種不同的方法：

第一：用定義判定線性相關性：

設有s個數，使取，則上述方程可化為下列方程組：若

若線性方程組（1）有非零解，則向量組線性相關；若線性方程組（1）只有零解，則向量組線性無關；

第二：用矩陣的秩判斷線性相關性：

向量組線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣的秩小于向量個數m；向量組線性無關的充分必要條件是。

第三：用行列式判斷線性相關性：

對于n個n維向量：則

行列式線性相關；

行列式線性無關；

注：（1）一般如果向量是具體的向量可以用矩陣的秩來判斷最簡單，如果含有字母且當含向量個數和維數相同時可用行列式的方法，但有時不是具體向量組，而是向量組與向量組的關系，已知一組向量的線性相關性，來判斷另一組向量的線性相關性，則用定義。

（2）這樣分三種方法來判斷向量組的線性相關性，根據題目的類型來選擇方法，對這類問題就迎刃而解了，具體例題可以參照文獻[5]。

問題2求解向量組極大無關組、秩、基、維數。

對于向量組的極大無關組、基、向量組的秩之間的關系對于很多讀者來說是一個容易混淆的，分不清楚它們的聯系，也是與線性相關性緊密結合的幾個概念，所以有必要在這里提出。實際上對于向量組的極大無關組、基實質是一樣的。向量組的極大無關組與線性相關性的關系就是向量組中找到個向量線性無關而向量線性相關，則個向量就是向量組的極大無關組，極大無關組可以作為向量空間或線性空間的基，就是向量組的秩也是向量空間或線性空間的維數。

例1 求的一個基，使其包含向量。

分析：從上面指出的基和極大無關組的關系可知，實際上是找的一個極大無關組即可，所以只需在中另外找兩個向量（一般找單位向量）只要線性無關即可。

解：令矩陣

∴構成的一個基。

注：對于不是求解向量空間而是其它線性空間的基是較難的題型，實際上處理方式是找出線性空間的元與向量組之間的關系后在找極大無關組或基。例如證明是的一個基。實際可以轉換為向量組的關系即是向量組

是否線性無關的問題，這樣使得類似的題目變得更簡捷。

問題3 線性相關性與線性方程組的基礎解系的關系。

線性方程組與線性相關性是水乳交融的關系，根據線性相關性的判斷知道齊次線性方程組（1）有無非零解可判斷線性相關性，反過來求解齊次線性方程組的基礎解系實際上是求齊次線性方程組的所有解的一組基，或一個極大無關組。關于求解齊次線性方程組的方法有兩種，第一是消元法，第二是取特殊向量代入求解法。具體例子各家高等代數或線性代數教科書及相關資料均有所舉例，故而我們不再舉例。

問題4 線性相關性與求解生成子空間。

向量空間或線性空間的生成子空間對于讀者是一個很抽象的問題，怎樣求解生成子空間呢？實際上若是向量空間的生成子空間則與求向量組的極大無關組，因此求解生成子空間與線性相關性也是緊密結合的。對于不是向量空間的向量，而是矩陣、多項式作為元素的或其它的線性空間可以轉化為向量空間來求。具體可參看下面的例子：

例2 在中，求向量

生成的子空間的基與維數。

解：根據上面的分析可以得到向量組的任一極大無關組都是由它生成的子空間的基，而向量組的秩即為子空間的維數。

所以子空間的基為維數為3。

注：求生成子空間可以通過求解極大無關組，這是把抽象的問題具體化的一個體現，這樣使得這類問題容易解決。

問題5 線性相關性與子空間的交與和。

子空間的交與和是子空間的兩種運算，這部分內容也是十分抽象的，對于子空間的交與和怎樣來求解也是十分困難的。這里介紹一種方法讓讀者把抽象問題具體化。先介紹向量空間的子空間的交與和，對于一般的線性空間可以轉化為向量組來解決，具體方法如下：

假設兩個子空間，下求它們的交與和。

因為，由子空間的求法，可知和實際上是求的極大無關組。即可求出的基和維數。

對于可根據維數公式[2]得到交的維數之后，在根據基的定義，便可以求出交。

注：此方法使得求解子空間的交與和變得具體化，從而使得問題迎刃而解。具體通過求解極大無關組，所以與線性相關性緊密結合的。對于子空間的交與和，還可以先根據交的定義構造一個齊次方程組，求出齊次方程組的基礎解系就知道交的基和維數，然后通過求交在通過維數公式求和，此方法相對來說復雜一些，在這里就不在說明。

問題6 線性相關性與線性變換的值域與核的關系。

線性變換的值域與核與線性相關性也有著緊密的聯系，是向量組的極大無關組和齊次線性方程組的基礎解系求解的。具體求法可以通過下面的例子來說明：

例3設線性變換在三維線性空間V的一組基下的矩陣是，

求的值域和核。

解：值域，且的維數等于A的秩，又因為，所以求實際可以轉化為求A的列向量的極大無關組即可。

知A的列向量的極大無關組，因此的基為，所以值域。下求核：

設，它在基的坐標是，則在基的坐標是由，即有，即為下齊次線性方程

求解上面齊次方程的基礎解系為：.令，則是的一組基，所以。

注：線性變換的值域和核是抽象的概念，對于一般的線性空間可以轉化為向量空間求解，可根據例題的步驟來求解，這對廣大讀者的記憶和理解應該來說是很有幫助的。

以上幾個問題是關于線性相關性密切聯系的問題，而線性相關性是線性代數理論以及高等代數的重要基礎。特別是關于線性空間和線性變換問題，在理解和求解過程首先要懂得轉化為已有的向量空間有關線性相關性知識，把抽象問題具體化，從而使得問題簡捷而明快。

參考文獻

[1]Lee W.Johnson，R.Dean Riess，Jimmy T.Rrnold Introduction to Linear Algebra[M].China Machine Press，2002：112-115.

[2]施武杰，戴桂生.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2005：64-69.

[3]劉學鵬.線性代數理論中兩個典型命題的正誤推論研究[J].高等數學研究，2008（6）：16-18.

[4]陳雪梅.學生怎樣理解向量的線性相關性[J].數學教育學報，2010（6）：63-67.

[5]毛綱源.線性代數解題方法技巧歸納[M].2版.武漢：華中理工大學出版社，2003：62-67.