中學(xué)數(shù)學(xué)中復(fù)數(shù)與三角恒等式的研究

復(fù)數(shù)具有多種形式，如代數(shù)式、幾何式、三角式、指數(shù)式等，而每種形式符合各自的運(yùn)算律，這就為我們利用各運(yùn)算律特點(diǎn)研究三角恒等式問題提供了一個(gè)契機(jī).特別說明：n，k∈N，當(dāng)k>n時(shí)，Ckn=0.

評(píng)注：上面的兩個(gè)定理是將棣莫佛定理：（cosθ±isinθ）n=cosnθ+isinnθ的左邊根據(jù)二項(xiàng)式定理展開后，通過兩邊實(shí)部與虛部的對(duì)比得到.

在《高中數(shù)學(xué)競賽專題講座：三角函數(shù)》 中，利用復(fù)數(shù)方程z2n+1

=1的求根過程推導(dǎo)出了一系列的三角恒等式如下：

那么當(dāng)復(fù)數(shù)方程為z2n+2=1時(shí)，通過推導(dǎo)就可以得到下面的定理：

在上面的三角恒等式推導(dǎo)過程中，充分利用復(fù)數(shù)知識(shí)中的棣莫佛定理：（cosθ±isinθ）n=cosnθ+isinnθ和其他運(yùn)算律相結(jié)合，通過實(shí)部與虛部的對(duì)比得出了一系列的三角恒等式定理及相關(guān)推論，再通過對(duì)n，θ賦值得到了一大批結(jié)構(gòu)簡單、形式優(yōu)美的三角恒等式.

參考文獻(xiàn)：

沈虎躍.高中數(shù)學(xué)競賽專題講座：三角函數(shù)[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2007：31-35.

（作者單位 廣東省廣州市天河區(qū)天榮中學(xué)）

編輯 魯翠紅