冪次趨近律在曲線擬合下的分析研究

摘 要：在變結(jié)構(gòu)控制研究中，趨近律是常用的控制策略。通過對(duì)冪次趨近律的計(jì)算和分析，發(fā)現(xiàn)在參數(shù)0<α≤1時(shí)，系統(tǒng)軌跡在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面；在α>1時(shí)，系統(tǒng)軌跡無法趨近滑模面，且系統(tǒng)不穩(wěn)定。通過變換將冪次趨近律化為線性函數(shù)再作曲線擬合，找到符合數(shù)據(jù)的模擬函數(shù)，分別計(jì)算出模擬函數(shù)在各點(diǎn)的誤差，從中挑出誤差較小模型。這樣變換后的趨近律能在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，而且抖振較小。

關(guān)鍵詞：變結(jié)構(gòu)；曲線擬合；抖振；滑模面

80年代初至今，變結(jié)構(gòu)的研究進(jìn)入一個(gè)快速時(shí)期，且研究的內(nèi)容也是各種各樣的。研究的重點(diǎn)大多集中在對(duì)滑動(dòng)模態(tài)的研究上，即滑模面的研究。而對(duì)切換面之前和之后的研究很少，這樣變結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)的影響，即動(dòng)態(tài)品質(zhì)很難保證。

趨近律策略是變結(jié)構(gòu)研究中的一種典型方法，對(duì)冪次趨近律的計(jì)算和分析后，找到其缺點(diǎn)，經(jīng)曲線擬合后得出變化后的趨近模擬函數(shù)，應(yīng)用到系統(tǒng)中效果明顯。

一、冪次趨近律

在變結(jié)構(gòu)中，冪次趨近律的缺陷可以通過計(jì)算得出，便于進(jìn)一步分析和研究。冪次趨近律不能直接用于系統(tǒng)控制，和其他的控制方法結(jié)合可以達(dá)到較好的效果，表現(xiàn)為在較短時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，抖振小，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)能很好地保證。

冪次趨近律微分形式：

當(dāng)0<α<1時(shí)，系統(tǒng)軌跡s經(jīng)過時(shí)間t后接近滑模面，并且在滑模面兩側(cè)來回穿越，穿越的幅度越來越小，最終停留在滑模面上。從式（3）可以看出，時(shí)間t為一定值，說明系統(tǒng)軌跡從初始狀態(tài)到滑模面可以實(shí)現(xiàn)，抖振也是越來越小，符合變結(jié)構(gòu)趨近的條件。

二、曲線擬合

曲線擬合就是建立s和α之間的函數(shù)關(guān)系，選取曲線上的點(diǎn)進(jìn)行插值計(jì)算來實(shí)現(xiàn)。由于點(diǎn)的選取是隨機(jī)性的，導(dǎo)致趨近律在用于系統(tǒng)的控制上有一定的誤差。插值要求節(jié)點(diǎn)上的值和函數(shù)值相等，這將會(huì)將誤差帶到函數(shù)關(guān)系中去。如果選取的點(diǎn)較少，將不能準(zhǔn)確地將曲線描述；如果選取的點(diǎn)較多，會(huì)使插值的次數(shù)較高，給計(jì)算帶來不便，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。那么通常采用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的度量來進(jìn)行計(jì)算。

1.擬合函數(shù)的選取

從而保證方程組有唯一解。

因?yàn)橛袝r(shí)符合數(shù)據(jù)的模型不止一個(gè)，就像上述列舉的是三個(gè)模型，可以分別計(jì)算出模型函數(shù)在各點(diǎn)的誤差，從中挑出一個(gè)誤差比較小的模型。

下面根據(jù)所列數(shù)據(jù)求出最終模型。

綜合（8）（9）兩式，曲線擬合下的離散趨近律滿足條件，一方面保證趨近律存在；另一方面趨近律的可達(dá)性經(jīng)驗(yàn)證后完全滿足，求解離散滑模控制律變得非常簡單。

本文基于冪次趨近律計(jì)算，針對(duì)其缺陷在曲線擬合下得出一個(gè)新的趨近律，經(jīng)驗(yàn)證后滿足條件，并在離散條件下驗(yàn)證了存在和可達(dá)性。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真[M].清華大學(xué)出版社，2005.

[2]高為炳.變結(jié)構(gòu)控制的理論及設(shè)計(jì)方法[M].科學(xué)出版社，1996.

（作者單位 遼寧省撫順市撫礦工學(xué)院）

編輯 王團(tuán)蘭