關(guān)于三角形的“四心”與平面向量的結(jié)合

摘要：筆者搜集了部分資料，結(jié)合本人積累的一些高三知識(shí)，就高中新課標(biāo)向量的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行闡述，對(duì)有關(guān)三角形“四心”的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，特別體現(xiàn)出它們之間的結(jié)合。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；平面向量；結(jié)合

中圖分類號(hào)：G427文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2013）21-093-1

一、基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)

1.定義：我們把三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即三角形內(nèi)切圓圓心；三角形三條邊上的中垂線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，即三角形外接圓圓心；三角形三條邊上的中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心；三角形三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心.我們將三角形的“內(nèi)心”、“外心”、“重心”、“垂心”合稱為三角形的“四心”.

2.應(yīng)用：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；三角形的重心到三角形的頂點(diǎn)的距離是相應(yīng)中線長(zhǎng)的三分之二；三角形的垂心與頂點(diǎn)的連線垂直于該頂點(diǎn)的對(duì)邊.

3.注意點(diǎn)：三角形的“四心”與平面向量知識(shí)的結(jié)合.

二、典型例題分析

[例] 已知點(diǎn)G是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn).試根據(jù)下列條件判斷G點(diǎn)可能通過(guò)△ABC的心.（填“內(nèi)心”或“外心”或“重心”或“垂心”）.

[提出問(wèn)題]

（1）若存在常數(shù)λ，滿足MG=MA+λ（AB|AB|+AC|AC|）（λ≠0），則點(diǎn)G可能通過(guò)△ABC的.

（2）若點(diǎn)D是△ABC的底邊BC上的中點(diǎn)，滿足GD·GB=GD·GC，則點(diǎn)G可能通過(guò)△ABC的.

（3）若存在常數(shù)λ，滿足MG=MA+λ（AB|AB|·sinB+AC|AC|·sinC）（λ≠0），則點(diǎn)G可能通過(guò)△ABC的.

（4）若存在常數(shù)λ，滿足MG=MA+λ（AB|AB|·cosB+AC|AC|·cosC）（λ≠0），則點(diǎn)G可能通過(guò)△ABC的.

[思路分析] 以上四個(gè)問(wèn)題的解決要求不同，除了熟悉三角形的“四心”的性質(zhì)，同時(shí)更要熟悉平面向量的性質(zhì)，對(duì)于平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合也要相當(dāng)熟悉.

[解答過(guò)程] （1）記AB|AB|=e1，AC|AC|=e2，則AG=λ（e1+e2）.由平面向量的平行四邊形或三角形法則知，點(diǎn)G是角平分線上的點(diǎn)，故應(yīng)填內(nèi)心.

（2）簡(jiǎn)單的變形后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G是BC邊中垂線上的點(diǎn)，故應(yīng)填外心.

（3）∵|AB|·sinB=|AC|·sinC，∴記|AB|·sinB=|AC|·sinC=h，

則AG=λ′（AB+AC）（λ′=λh）.由平面向量的平行四邊形或三角形法則知，點(diǎn)G是BC邊的中線上的點(diǎn)，故應(yīng)填重心.

（4）分析后發(fā)現(xiàn)，本題學(xué)生難以找到解決問(wèn)題的突破口，主要在于平面向量的數(shù)量積的充分利用.由

MG=MA+λ（AB|AB|·cosB+AC|AC|·cosC）（λ≠0），

得AG=λ（AB|AB|·cosB+AC|AC|·cosC）（λ≠0），

（關(guān)鍵點(diǎn)）AG·BC=λ（AB|AB|·cosB+AC|AC|·cosC）·BC（λ≠0）

于是AG·BC=λ（AB·BC|AB|·cosB+AC·BC|AC|·cosC）（λ≠0）

=λ（|BC|·cos（π-B）+|BC|·cosB）=λ（-|BC|+|BC|）=0.

從而AG⊥BC，點(diǎn)G是高線上的點(diǎn)，故應(yīng)填垂心.

[教師點(diǎn)評(píng)] 以上四個(gè)問(wèn)題處理的方法各不相同，注意到平面向量及三角形的“四心”的性質(zhì)在解答問(wèn)題時(shí)的作用.特別注意第四問(wèn)兩邊同乘以某個(gè)表達(dá)式的技巧.

三、綜合運(yùn)用

[提出問(wèn)題] 若O點(diǎn)是△ABC的外心，H點(diǎn)是△ABC的垂心，且OH=m（OA+OB+OC），求實(shí)數(shù)m的值.

[思路分析] 許多學(xué)生在解答此類題時(shí)，只能用特殊值的方法解決.要求學(xué)生能夠充分利用本節(jié)提到的一些基礎(chǔ)知識(shí)及相關(guān)性質(zhì)解題.

[解答過(guò)程] 由OH=m（OA+OB+OC），得OH-OA=m（OA+OB+OC）-OA，

于是HA=（m-1）·OA+m（OB+OC），

（關(guān)鍵點(diǎn)）HA·BC=（m-1）OA·BC+m（OB+OC）·BC

即HA·BC=（m-1）OA·BC+m（OB+OC）·（OC-OB），

由題意，知HA·BC=0，及（OB+OC）·（OC-OB）=0，從而（m-1）OA·BC=0，

其中OA·BC≠0，因此m-1=0，即m=1.

[教師點(diǎn)評(píng)] 請(qǐng)讀者特別注意解題中的關(guān)鍵點(diǎn)，解這類問(wèn)題時(shí)的技巧也應(yīng)熟練掌握.

[舉一反三] 通過(guò)上述例題及解答，我們可以總結(jié)出關(guān)于三角形“四心”的向量表達(dá)式.