高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計

數(shù)是對函數(shù)知識的深化，對極限知識的發(fā)展，是今后學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ).所以體會導(dǎo)數(shù)的思想理解導(dǎo)數(shù)的含義對學(xué)生有著很重要的意義.

第一環(huán)節(jié)“情境引入提出問題”

第一個實例是求曲線的切線問題.比如旋轉(zhuǎn)雨傘時，雨滴脫離雨傘的瞬間是沿著雨傘旋轉(zhuǎn)軌跡的切線方向飛去.已知條件是曲線方程y=f（x）和曲線上的一點M0，目標(biāo)是求過點M0的切線的斜率.兩點確定一條直線，切線首先應(yīng)該通過切點M0，然后在曲線上另取一點M，先讓學(xué)生探究割線M0M的斜率，再引導(dǎo)學(xué)生觀察動態(tài)圖像并探究當(dāng)點M沿曲線無限趨近M0時，割線與切線的關(guān)系.通過曲線的割線變切線的動態(tài)演示，學(xué)生能夠直觀地感受到割線的極限位置就是切線，最后引導(dǎo)學(xué)生利用極限的思想求切線的斜率.

第二個實例是變速直線運動的瞬時速度問題.汽車的速度表盤顯示的就是瞬時速度.已知條件是運動方程s=s（t），目標(biāo)是求時刻t0的瞬時速度.運用與第一個實例類似的探究方法，引導(dǎo)學(xué)生探究出平均速度的極限就是時刻t0的瞬時速度.

第二環(huán)節(jié)“類比探索形成概念”

1.歸納共性揭示本質(zhì)

1對象1內(nèi)容1本質(zhì)1符號語言1數(shù)學(xué)思想具體

實例1曲線方程

y=f（x）1切線的

斜率1割線斜率

的極限1k=limΔx→0Δy1Δx1極限思想運動方程

s=s（t）1物體的

瞬時速度1平均速度

的極限1v=limΔt→0Δs1Δt1極限思想一般

情形1函數(shù)方程

y=f（x）1可導(dǎo)

函數(shù)1平均變化

率的極限1y′=limΔx→0Δy1Δx1極限思想

函數(shù)思想將學(xué)生分成若干學(xué)習(xí)小組，以表格為載體討論交流切線的斜率和瞬時速度兩個具體問題在解決方法上的共同之處.教師巡視并鼓勵學(xué)生參與，對個別學(xué)有困難的小組加以指導(dǎo).一個是“縱坐標(biāo)改變量與橫坐標(biāo)改變量之比”的極限，一個是“位移改變量與時間改變量之比”的極限.如果舍去它們的具體含義，都可以概括為求平均變化率的極限.

2.類比遷移形成概念

學(xué)生思考：怎樣計算一般函數(shù)y=f（x）在點x0處的變化率？用具體到抽象、特殊到一般的思維方式，引導(dǎo)學(xué)生利用兩個具體問題的方法和思想進行類比遷移，得出函數(shù)在點x0處的變化率，自然引出導(dǎo)數(shù)概念的第一層含義：函數(shù)在一點處可導(dǎo).引出導(dǎo)數(shù)定義后，回歸問題情景，反思概念的“原型”，得到導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義.并引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合直線的點斜式方程，寫出曲線的切線方程和法線方程.

3.剖析概念加深理解

組織學(xué)生閱讀“導(dǎo)數(shù)”定義，抓住定義中的關(guān)鍵詞“可導(dǎo)”與“導(dǎo)數(shù)”交流探討.通過師生互動挖掘這些概念之間的深層含義，引導(dǎo)學(xué)生去揭示概念的內(nèi)涵與外延，提高數(shù)學(xué)閱讀能力.并通過例1“求函數(shù)y=2x2在點x0=1處的導(dǎo)數(shù)”的求解引導(dǎo)學(xué)生歸納出用定義求函數(shù)在一點處導(dǎo)數(shù)的步驟：（1）求增量，（2）作差商，（3）取極限.學(xué)生動手解答，老師強調(diào)符號語言的規(guī)范使用.用定義法求導(dǎo)數(shù)是對導(dǎo)數(shù)概念的理解與應(yīng)用.在這一環(huán)節(jié)通過學(xué)生積極主動的參與，滲透算法思想，加深對導(dǎo)數(shù)概念的理解.

第三環(huán)節(jié)“引申拓展發(fā)展概念”

利用例1繼續(xù)設(shè)問：函數(shù)在x=1處可導(dǎo)，那么在x=-1，2，3這些點也可導(dǎo)嗎？從而引申拓展出 “導(dǎo)數(shù)”概念的第二層含義：函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).師生共同探討歸納函數(shù)在開區(qū)間（a，b）的每點可導(dǎo)，每點就有唯一確定的導(dǎo)數(shù).這樣在開區(qū)間（a，b）內(nèi)構(gòu)成一個特殊的映射，就是函數(shù).這個新函數(shù)叫做f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).運用函數(shù)思想，只要把求一點處的導(dǎo)數(shù)x0替換成x，就可以求出導(dǎo)函數(shù)的解析式.接著探究引出“導(dǎo)數(shù)”概念的第三層含義：函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).這一環(huán)節(jié)通過層層展開的探究，完成了從函數(shù)在一點可導(dǎo)，到函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，再到函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)的兩次拓展.

分組讓學(xué)生動手“操作”完成例2：已知函數(shù)y=11x，求（1）y′，（2）y′|x=1，并動腦思考總結(jié)出例2兩小問的區(qū)別與聯(lián)系.選出代表全班交流，完善后屏幕顯示達成共識.設(shè)計例2是為了讓學(xué)生辨清“函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)”、“函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)”與“導(dǎo)函數(shù)”三者的關(guān)系.設(shè)計例3：求過拋物線y=2x2上點M0（1，2）的切線方程與法線方程.讓學(xué)生進一步熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義，加深對導(dǎo)數(shù)概念的理解.

第四環(huán)節(jié)“練習(xí)反饋鞏固概念”

練習(xí)1：已知y=1+x，求y′與y′|x=0.練習(xí)2：書＼[2＼]P72 第2題.通過練習(xí)檢驗學(xué)生對知識技能的掌握情況，以便及時調(diào)節(jié)教學(xué)，更好地達成教學(xué)目標(biāo).

第五環(huán)節(jié)“小結(jié)整理建立系統(tǒng)”

引導(dǎo)學(xué)生從知識、方法、思想和應(yīng)用四個層面進行自我小結(jié)，理清知識結(jié)構(gòu)，提煉數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)應(yīng)用意識.并留出時間讓學(xué)生提問，考查學(xué)生是否突破了難點，及時調(diào)整“問題”導(dǎo)向.

第六環(huán)節(jié)“分層作業(yè)深化概念”

必做題：書＼[2＼]P72 第1、3、4題.選做題：1.上網(wǎng)查閱有關(guān)微積分產(chǎn)生的時代背景和歷史意義的資料并交流討論.2.函數(shù)f（x）=|x|在x=0處是否可導(dǎo)？探索題：函數(shù)y=f（x）在x=x0處可導(dǎo)是它在x=x0處連續(xù)的條件.設(shè)計遞進式分層作業(yè)是為了滿足不同學(xué)生的多樣化需求，同時利用網(wǎng)絡(luò)拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和平臺，而探索題又為下節(jié)課打下伏筆.

以上體現(xiàn)了以學(xué)生的發(fā)展為本，不是教教材而是用教材教；教學(xué)中不是重結(jié)論，而是重過程和方法；不是采用接受式的學(xué)習(xí)方式，而是采用探究、交流的方式；不是統(tǒng)一要求，而是因材施教尊重個體差異.這樣的設(shè)計符合學(xué)生認知規(guī)律，促進了個性化學(xué)習(xí)，更好地實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo).

【參考文獻】

＼[1＼]張奠宙，丁傳松，柴俊，著.情真意切話數(shù)學(xué)＼[M＼].北京：科學(xué)出版社，2011：121-127.

＼[2＼]周明儒，主編.高等數(shù)學(xué)（文科類）＼[M＼].南京：南京大學(xué)出版社，2010：61-73.