如何上好高等代數第一堂課

高等代數是大學數學類專業一門重要的基礎課，其特點是知識點繁多、抽象性強、邏輯推理嚴密.由于剛入大學的新生面臨學習習慣的改變和數學思維方式從初等數學到高等數學思維方式的過渡，在學習高等代數課程初期就會感覺本課程枯燥難懂，難于提起學習興趣.俗語說“好的開始時成功的一半”，本文將闡述如何上好高等代數第一堂課，讓學生對該課程有一個整體的認識，把該課程當作是一個有待開發和探究的寶藏，激發學生的學習興趣，樹立學好本課程的信心.

一、突出課程地位

高等代數與數學分析和空間解析幾何并稱為高等數學的三大基礎課.學習這些課程，會讓我們領悟到，利用新的數學工具，可以解決理、工、農、醫、管、教育等各專業的實際問題.隨著計算機技術的發展使得處理離散型關系的數學理論的重要性日益突出.而高等代數的研究對象包括多項式、向量、矩陣和線性方程組等等，涉及的數量往往是離散型的，主要解決離散系統的問題，也就是用代數的方法刻畫事物的數量關系，因此，高等代數在經濟、管理、運籌學、社會學、人口學、遺傳學、生物學等領域都有廣泛的應用.從思維特點上來看，代數以有序思維占主導，側重培養計算與邏輯思維能力，因此，很多抽象的概念如n維向量及其線性相關性等都要借助幾何為之提供直觀，再經過歸納、提煉、抽象出一般理論，這使得高等代數更具抽象性.但正是這樣的抽象性，才使其成為數學分析從研究單變量函數過渡到多變量函數時，必須要用到的重要工具，同時，也為幾何提供代數方法，從而徹底解決二次曲線和二次曲面分類問題.

二、闡明課程體系

高等代數主要包括多項式理論和線性代數理論.其中多項式理論主要研究一般數域上的多項式整除、最大公因式、多項式的因式分解理論.多項式作為形式表達式在現代信息技術領域有重要的應用，而作為最簡單函數之一，多項式也往往是數值計算時將函數化繁為簡的一個首選目標.線性代數理論主要包括行列式、矩陣、線性方程組、線性空間、線性變換和歐氏空間等理論.在整個線性代數理論體系中，矩陣理論是一條主線，也是解決各個理論問題的重要工具.我們研究行列式的計算和矩陣的初等變換，首先是為了求解線性方程組.研究線性方程組，就要研究各個方程之間的關系，這有涉及到研究向量、向量組的線性相關性、線性空間、線性空間的基和維數等.這些都要用到矩陣的運算、運算的性質、矩陣的各種標準形等.而線性方程組的一個重要應用就是計算矩陣的特征值和特征向量，它們是刻畫系統穩定性的重要指標.研究二次型，同樣用到矩陣作為工具，直觀地講，就是可以利用矩陣作為工具，徹底解決空間有心二次曲面的分類問題.這些知識點之間，看似繁多又聯系不那么緊密，但實則是各知識點環環相扣，構成了一個完整的理論體系.

三、介紹發展簡史

介紹高等代數的一些發展歷史，既能讓學生領略歷史上偉大數學家的風采，了解它們對數學及其他科學發展的重要貢獻，也能讓學生體會到數學發展的巨大動力源泉與社會生產實踐及技術發展的客觀要求緊密相連.

例如，針對多項式理論，我們可以介紹一元高次多項式根式解的研究歷史.兩千多年之前古希臘時代數學家就能夠利用開方法解二次方程，十六世紀初歐洲文藝復興時期之后， 求解高次方程成為歐洲代數學研究的一個中心問題.1545年意大利數學家G.Cardano（1501-1576）在他的著作《大術》（Ars Magna）中給出了三、四次多項式的求根公式， 此后的將近三個世紀中人們力圖發現五次方程的一般求解方法， 但都失敗了.直到1824年一位年青的挪威數學家 N.Abel （1802-1829） 才證明五次和五次以上的一般代數方程沒有求根公式.但是人們仍然不知道什么條件之下一個已知的多項式能借助加、減、乘、除有理運算以及開方的方法求出它的所有根，什么條件之下不能求根.最終解決這一問題的是一位法國年青數學家 E.Galois（1811 - 1832）， Galois引入了擴域以及群的概念， 并采用了一種全新的理論方法（群論）發現了高次代數方程可解的法則.但是，當物理學家在20世紀上半葉發現群論時，發現這正是他們所需要的數學語言，利用它可以統一偉大的能量守恒定律、動量守恒定律、自旋守恒定律、電荷守恒定律等理論.

在第一堂課給學生介紹諸如此類的高等代數發展史、經典的數學家小故事和富有啟發意義的歷史話題，可以使學生明白數學并不是一門枯燥無味的學科，而是一門不斷發展的生動有趣的學科，從而可以大大激發學生學習數學的興趣，更能讓學生數學感受到，數學本身的發展歷史足以使之散發無窮的光芒，進而形成探究和感受數學文化的良好氛圍.

四、聯系課程應用

介紹高等代數在實際中的應用是化解學生對學習高等代數存在畏難情緒的有效方法之一.我們可以向學生介紹一些易于理解，和現實生活緊密相關的一些小例子.

五、給出學法建議

首先是轉變觀念.學生應盡快實現從‘應試’到‘應用’的轉變和從‘被動’到‘主動’的轉變.其次是處理好宏觀與微觀的關系，在宏觀上要理解該理論體系中滲透的重要數學思想，注意理論體系的建立，利用聯系的觀點，把握課程的整體性、系統性和連貫性.同時注重高等代數和解析幾何、數學分析等課程之間的聯系.在微觀上，掌握各知識點采用了哪些最有效的數學研究方法，例如類比聯想、分析綜合、歸納演繹等一般科學方法，以及反證法、數學歸納法、數學構造法等獨特的數學數學解題方法與技巧.進而掌握高等代數中的基本概念（定義、符號）、基本理論（定理、公式）、基本方法（計算、證明）.第三是養成良好的學習習慣培養自主學習能力.要養成“溫故知新”的好習慣，課外做好充分的預習和復習.要通過練習題和習題鞏固和加深對概念的理解和掌握， 熟悉各種公式和定理的運用.要善于總結、勤于思考， 著名科學家牛頓在被問到是什么使他發現了萬有引力定律時， 其回答非常簡單：“By th ink ing on it con t inually”.這看似簡單的回答卻給出了一個真理： 幾乎所有的偉大發現都歸功于不斷的思考.第四是培養提出問題、分析問題和解決問題的能力，提高創新意識和自主學習的能力.

總之，怎樣上好這堂課，怎樣在這個課堂上展示數學的魅力，為后續的教學打下良好的基礎？需要我們每一位從事高等代數教學的教師深入地思考、探索和行動.

（本文受吉林省教育科學規劃課題（2012-5-51）