關于不定積分教學的思考

【摘要】不定積分是高等數學教學中的重要內容，其計算方法靈活多變，技巧性強，是教學的重點和難點.本文針對學生學習不定積分存在的一些問題展開分析討論，旨在幫助學生更好地掌握各種積分方法.

【關鍵詞】不定積分；換元積分；分部積分

【中圖分類號】G642

【文獻標識碼】A

不定積分是微積分學的重要組成部分，在整個微積分中起到承上啟下的作用.一方面，不定積分運算與導數運算互為逆運算；另一方面，不定積分的知識和方法是后續定積分學習的基礎.在教學中，筆者發現許多學生對這一部分的內容掌握情況欠佳，學習中存在很多困難，以下是關于不定積分教學的幾點思考.

一、深刻理解不定積分法則

不定積分的法則如下：

法則1∫kf（x）dx=k∫f（x）dx（k為常數）

法則2∫[f（x）±g（x）]dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx （可推廣到有限項）

法則1指被積函數中含有常數時，常數可以直接提到積分符號的外面.但需要注意的是：積分號內部的函數不能提出.講解這個法則時，學生可能覺得很簡單，但在后續課程的學習中，學生往往會不由自主地把函數也提出來.例如，求不定積分∫111+4x2dx時，正確解法是：

∫111+4x2dx=∫111+（2x）2dx=112∫111+（2x）2d（2x）=112arctan2x+C.

有的學生湊微分可能湊的是d（1+4x2），并且發現d（1+4x2）=8xdx，因此把原式寫成118x∫111+4x2d（1+4x2）的形式.其實，118x是積分號內部的函數，它根本不能提到積分符號的外面，所以這種解法與不定積分的法則1相違背，是不正確的.

法則2指和差的不定積分等于不定積分的和差，導數運算也具有這樣四則運算法則，但不定積分并沒有乘除法的運算法則，這也是造成不定積分計算難度大的重要原因.絕對不能把乘積的不定積分寫成不定積分的乘積，如計算∫2xexdx時，不能寫成∫2xdx·∫exdx.很容易驗證它們是不相等的：∫2xdx=2x1ln2+C，∫exdx=ex+C，而2xex1ln2′=2xex（ln2+1）1ln2，這并不等于2xex.正確做法應該是把被積函數寫成（2e）x，然后按照指數函數的積分公式進行計算.

對于被積函數為乘積（或商）的形式，盡量化為和差形式后再積分，如果不能化簡，可考慮換元積分和分部積分法解決.

二、根據被積函數的特征選取合適的積分方法

求解不定積分的常用積分方法有直接積分法、第一類換元積分法（湊微分法）、第二類換元積分法、分部積分法等.許多學生對這幾種求不定積分的方法都已經掌握，但關鍵問題在于不知該用哪種方法計算，解題不知從何下手.筆者認為正確的思考順序應該是：

直接積分法1 湊微分法 1 第二類換元積分法/分部積分法.

直接積分法是最簡單、最基本的積分方法，是直接利用不定積分的公式和法則對被積函數進行積分，部分函數需要先適當變形后再直接積分.如果通過對被積函數的觀察分析，確實不能直接積分的，可以考慮湊微分法.能夠用湊微分法計算的不定積分，被積函數大多都是乘積（或商）的形式，這也正是積分法則不能解決的積分問題.這些函數的因式之間一般具有某種特殊關系，我們用式子∫f[φ（x）]φ′（x）dx來表示，通過湊φ（x）的微分，然后換元解之.即∫f[φ（x）]φ′（x）dx湊微分∫f[φ（x）]dφ（x）令φ（x）=t∫f（t）dt積分F（t）+C還原F[φ（x）]+C.在解題時，需要結合常用形式的湊微分來尋找這種關系.

直接積分和湊微分的方法因為步驟簡單，書寫方便，所以在解題時應首先考慮這兩種方法.第二類換元積分法，解決被積函數含有根式的積分問題.當然，并不是被積函數中含有根式就必須用二類換元，前兩種方法也能處理部分含有根式的積分，如∫11xdx，∫sinx1xdx，∫111-x2dx.如果不能使用直接積分和湊微分法，被積函數中含有根式的，可使用第二類換元積分法解題，目的是通過換元去掉根式.

分部積分法是通過分部積分公式，將積分∫udv轉化為積分∫vdu，從而降低積分難度.分部積分法大多也是解決被積函數為乘積形式的積分問題，與湊微分的區別在于被積函數各因式之間沒有什么關系，相互不能湊微分.但轉化為積分∫vdu的過程又與湊微分相似，因此，初學者容易將這兩種方法混淆.另外，熟悉使用分部積分法的常見題型，也是掌握這部分內容的關鍵.如∫xsinxdx，∫xexdx，∫xlnxdx，∫arctanxdx，∫excosxdx等都是使用分部積分法的常規類型.

三、靈活掌握各積分方法，綜合利用它們解決積分問題

不定積分的公式是求解各類積分的基礎，在解題過程中會反復使用.所以，要求學生一定要牢牢記住，并熟悉將這些公式中變量x換成其他形式時所使用的公式原型.如積分公式∫dx=x+C大家可能很熟悉，而積分∫dex就覺得陌生了，其實，只需令ex=u，則∫dex=∫du=u+C=ex+C，它們使用的是同一個公式原型.這樣的情況在積分問題中常會遇到，需要學生有扎實的基本功和敏銳的洞察力.

湊微分是積分方法中使用起來最靈活的一種，基本積分公式結合常用湊微分，使得積分題目千變萬化，表示如下：

例如：∫113x+1dx，∫11xlnxdx，∫ex11+exdx三個題中，分別使用dx=113d（3x+1），11xdx=dlnx，exdx=d（ex+1）這三種不同形式的湊微分，但最終利用的積分公式都是∫11xdx=ln|x|+C.積分公式與常用湊微分交叉使用，使得湊微分神奇多變.此外，同一種形式的湊微分，也不是一成不變的.如：cosxdx=dsinx=d（sinx+1）=112d（2sinx-3），需根據已知函數中出現的函數形式來決定湊微分的形式.

在解一道不定積分題時，可能會同時使用兩種以上的積分方法，這需要學生思路清晰，有綜合駕馭各積分方法的能力.如：∫arcsinxdx=xarcsinx-∫xdarcsinx=xarcsinx-∫x11-x2dx=xarcsinx+112∫111-x2d（1-x2）=xarcsinx+1-x2+C.此題先后利用分部積分法和湊微分法，要想做到融會貫通，需要通過大量的練習熟悉這些積分方法的常見題型，并在練習中不斷鞏固.

總之，不定積分的教學具有一定難度和挑戰性，教師應精心設計教學環節，對積分方法進行歸類比較，正確引導學生學習思考，通過對被積函數進行分析，選取合適的積分方法，并靈活應用，從而提高解題的能力.

【參考文獻】

＼[1＼]胡剛.被積表達式為乘積式的不定積分求解分析＼[J＼].讀與算，2012（7）：26-27.

＼[2＼]張燕，陳雪嬌.淺談不定積分分部積分法的教學＼[J＼].數學學習與研究，2012（13）：3.