換個思路

【摘要】數學概念是思維活動的核心與基礎.對于數學概念教學，如何更好地揭示概念的本質，提高學生的思維品質，就需要我們在教學中不斷地反思.本文是筆者對二面角概念教學進行了一次嘗試.

【關鍵詞】數學概念；二面角

一、問題

數學概念是思維活動的核心與基礎，數學概念是反映事物在數量關系和空間形式上本質特征的思維形式.誠如章建躍先生曾說：“概念是思維的細胞，數學根本是玩概念的，因此，我們必須十分重視基本概念的教學，在核心概念上要做到不惜時，不惜力.”所以，對于數學概念教學，如何更好地揭示概念的本質，提高學生的思維品質，就需要我們在教學中不斷地反思.筆者對二面角概念教學進行了一次嘗試，現整理出來，不當之處，懇請指正.

1.對二面角的認知分析

二面角及二面角的平面角概念是立體幾何的重要概念.“二面角”是在異面直線所成的角和直線與平面所成的角之后，學生學習的又一個空間概念，二面角是研究兩個相交平面的位置關系的重要工具，它也是空間中線線、線面、面面垂直關系的匯集點.同時，用平面角來刻畫二面角的大小也豐富了研究空間問題的思想方法.

2.原有設計存在的問題

以往對于這一內容的教學，筆者是這樣設計的：首先給出二面角的定義，強調二面角不是角，比如用不斷打開的書為例，讓學生感受二面角的不同，然后通過操作活動，讓學生在打開的書的兩面用筆去擺，發現筆擺在不同位置時，角的大小不一樣，分析比較后，確定兩支筆必須與書棱保持垂直，從而找出刻畫二面角的大小的量，引出二面角平面角的概念.通過這種方式，能夠發揮教師先行組織者的作用，將二面角這一內容層層遞進，似乎是完成了教學任務，但這樣做卻導致學生對概念沒有深刻的印象，出現概念判斷錯誤，學生產生種種困惑，總是會出現這樣的疑問：刻畫二面角的大小一定要用二面角的平面角嗎？二面角的平面角為何這樣找？更進一步，這也不利于學生數學興趣的培養和探究能力的形成.能不能換個思路，換個角度來處理二面角呢？在認真思考后，筆者進行了如下教學嘗試.

二、探究

1.結合課程標準對二面角的要求，筆者首先設定了以下教學目標

（1）理解二面角及二面角的平面角的定義，學會在已知圖形中找出指定二面角的平面角，并能求出簡單二面角的大小；

（2）經歷用二面角的平面角度量二面角的探索過程，體會將空間問題轉化為平面問題的降維思想方法；

（3）通過對二面角度量這一問題的分析，發現，進一步培養空間想象能力和邏輯思維能力，激發學習興趣，培養自主探究的精神.

2.針對上述的教學目標，筆者有了以下的教學設計

第一個環節：類比舊知，引入新課

筆者從實例出發，引入課題，設計了這樣的2個教學步驟：

第一步：引導學生回憶，直線上的一點把直線分成兩部分，每個部分稱為射線，由一點出發引出兩條射線就是一個角.

第二步：通過類比，平面上一條直線把平面分成兩部分，每個部分稱為半平面，由一條直線出發引出兩個半平面組成的圖形就是二面角.

通過這樣的方式引出二面角定義，讓學生明晰新舊差異，更好地理解二面角的定義，然后，明確二面角的表示方法.

第二個環節：模擬過程，探究方法

這一環節的主要任務就是尋找二面角的度量方法，也是本節課的教學重點.

處理這個問題的通常做法是：通過學生動手操作，突出二面角的平面角的特征：頂點在棱上，角的兩邊在兩個半平面內，并且與棱垂直.

為了突破難點，我進行了一些思考，做了如下嘗試：

（1）首先通過出示大小不同的二面角，讓學生發現二面角是有大小的，直觀感受二面角的大小與張開的程度有關；

（2）然后通過旋轉二面角的一個半平面，讓學生發現二面角的大小就是這個半平面旋轉的角度；

（3）半平面是由無數個點組成的，因此半平面轉過的角度就是每個點轉過的角度，通過考察點的旋轉角度，來確定半平面的旋轉角度，從而去度量二面角的大小.

這一部分具體處理看以下教學實錄.

師：我們看這里的兩個二面角，這兩個二面角相同嗎？哪里不同？看來二面角有大有小.如何來度量二面角的大小呢？

師：二面角也可以這樣形成，可以看成是一個半平面以其棱為軸旋轉而成的，半平面在旋轉的過程中產生了一個旋轉角度，二面角的大小事實上就是半平面的旋轉角度，同意嗎？怎樣來度量半平面的旋轉角度呢？

觀察：半平面內的每個點與半平面旋轉同步，也就是它們的運動特征相同，因此，觀察半平面的旋轉情況就可以觀察半平面上的一點.

通過演示，觀察半平面上的一點A，隨著半平面的旋轉，點A的運動軌跡是一段圓弧（如圖一），點A轉過的角度就是圓弧所對的圓心角，記為∠AOB（如圖二），這個角就是半平面轉過的角度嗎？再換另一個點A′觀察，得到另一段弧（如圖三），找出弧所對的圓心角∠A′O′B′（如圖四），這兩段圓弧所對的圓心角有怎樣的關系？

生：相等.

師：為什么？

生：利用等角定理，兩邊平行.

師：為什么？

生：OA，OB與棱垂直.

師：再找一個點呢？

生：仍相等.

師：好，我們只需在半平面上任意找一個點，這個點轉過的角度就是這里的圓心角，就是半平面轉過的角度，也就反映了二面角的大小.因此，要度量二面角的大小我們只需要度量∠AOB的大小.

師：觀察∠AOB有怎樣的特征，角的頂點在哪里？

生：棱上.

師：邊呢？

生：分別在二面角的兩個面內.

師：只滿足這個條件就行了嗎？

生：還必須滿足角的兩邊與棱垂直.

總結：∠AOB具有的特征：（1）頂點O在棱上；（2）OA，OB分別在兩個面內；（3）∠AOB的兩邊OA，OB與棱垂直，也就是旋轉過程中點的軌跡形成的圓弧所在的平面與棱垂直.

師：現在，我們給出任意一個二面角，怎樣去度量這個二面角呢？

生：我們可以找一個滿足上述特征的角.

通過以上的嘗試，筆者試圖達到以下目的：不僅讓學生知道度量二面角的方法，而且引導學生從另一個角度發現二面角的平面角滿足的條件，尤其是角的兩邊與棱垂直這一本質特征，這一過程通過“幾何畫板”的動態展示比較直觀，提高了學生探究的熱情，讓學生在原有基礎上拓展了思維，也能增加課堂的飽滿度，教學效果明顯優于原有的設計.

三、兩點反思

1.數學課堂，如何彰顯個性

對于二面角的平面角這一問題的處理，筆者從面的旋轉到點的旋轉，得出刻畫二面角大小的方法，更顯自然，學生也更容易接受.雖然擯棄了原有的學生動手操作，但是并沒有削弱學生的觀察發現，從空間到平面，從動到靜，適應了學情，能夠體現出對這一問題的個性化解讀.

2.選擇合適的概念教學方式

二面角作為立體幾何比較重要的概念，不能單是概念簡單的闡述，而是要在概念產生的過程中喚起學生的思維活動，提高學生的思維品質.筆者通過類比新舊差異，模擬動態過程，仍然遵循新課程中強調增加學生自主學習、探究的內容，舍棄了“機械灌輸”的模式，做到讓探究式教學“有的放矢”.