統一性與高中數學教學

【摘要】統一性是指部分與部分、部分與整體之間的內在聯系或共同規律所呈現出來的和諧一致.數與形是數學研究的兩個獨立的對象，對它們的研究，分別構成了代數與幾何.然而通過坐標系的建立，使點與數建立了對應，從而把代數研究的對象與幾何研究的對象用方程與曲線聯系在一起，實現了統一.從數學發展的規律來看，數學的發展將日益證明數學的統一性.

【關鍵詞】統一性；高中數學教學

為使龐大的數學體系變得簡單而精確，數學家們經常依據數學各領域的共性，提出統一數學各部分的新觀點、新理論.算子理論、群論、拓撲理論等都是相應的許多具體數學內容統一的結果.公理化方法、機構理想也是從統一性目標出發而提出的建立數學體系的方法.

首先，數學的統一性體現在數學的結構統一.

數學中一些表面看起來不相同的概念、定理、法則，在一定條件下可以處在一個統一體中.如，我們熟知的中學平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理，都可以統一于圓冪定理之中；在集合論建立以后，代數中的“運算”、幾何中的“變換”、分析中的“函數”這三個不同領域的概念，可以統一于“映射”概念之中；笛卡爾通過解析幾何把幾何學、代數學、邏輯學統一起來了.

例如，在解析幾何中，圓、橢圓、雙曲線、拋物線的統一性表現在以下四個方面：①從方程的形式看，在直角坐標系中，它們的曲線方程都可以寫成：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，方程的特點是它們都是二元二次方程，所以統稱為二次曲線；②除圓外，從點的集合或軌跡的觀點來看，它們都是與定點和定直線距離的比是常數（稱為離心率）的點集合或軌跡，這個定點是它們的焦點，定直線是它們的準線，只是由于離心率的不同而分為橢圓、雙曲線、拋物線；③四種曲線又可以看作不同的平面截圓錐而所得到的截線，因此，它們又統稱為圓錐曲線，并且更為巧妙的是：天體運行的軌道就是這四種曲線；④在極坐標系中，設為定點到準線的距離，為離心率，為極角，為極半徑，則直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線便可以統一為一個簡單的極坐標方程：ρ=ep11-ecosθ.

這里，把直線、圓依次看成是雙曲線、橢圓的極限情形.

其次，數學的統一性還表現為數學方法的統一.

就數學理論體系的建立來看，統一在機械化法與公理化法的結合上.《九章算數》是機械化法的光輝代表，《幾何原本》則是公理化法的典范.如，中學的初等代數，總體上是機械化法，局部上是公理化法；中學的初等幾何則是總體上的公理化法，局部上的機械化法.它們都是機械化法與公理化法的結合.即使數學問題的解決，在具體的策略方法上水平上，也是這樣.比如，證明策略可以統一在歸納推理證明（合情推理）與演繹推理證明的結合上，統一在直接證法與間接證法的結合上，統一在分析法與綜合法的結合上，等等.在數學方法的運用上，也顯示出數學結構的統一性，許多不同類型的問題可以用統一的思想方法解決.例如：數學的思維方式——化歸法，就是一個統一的數學思想方法.

統一性在高中數學教學中有著很廣泛的運用.

數學的統一性表現為多種形式和層次上的高度統一和協調.解決數學問題的關鍵在于把原問題轉化為一個更易解決的問題，而實現轉化的依據就在于原問題及其轉化后的問題在本質上的統一.數學美的和諧美能透露出這方面的信息，為我們實現這種統一指引方向，為打通解題路徑奠定基礎.

例1設x+y+z=0且xyz≠0，求x11y+11z+y11x+11z+z11x+11y+3的值.

分析為追求前三項的和諧統一，可在每個括號里各補一項，美化成關于11x+11y+11z的統一式.為了追求值的平衡，又需要減去三項x1x，y1y，z1z而恰好與3相消.通過補美，實現了整體形式的高度統一，從而獲得解題靈感.

在解題中，我們應該尋求數、式、形之間外部與內部的和諧統一美.審美既能幫助我們進行解題，又能幫助我們進行猜測，指明解題方法.

例2設a2b211b2c2+11c2d2+11d2a2-b2c211c2d2+11d2a2+11a2b2+c2d211d2a2+11a2b2+11b2c2 -d2a211a2b2+11b2c2+11c2d2=0.求證：ab+bc+cd+da與ab+cd-da-bc中至少有一個為零.

分析已知條件是分式，而結論是整式，不統一，且條件復雜，結論簡單，所以，可以運用順推策略探索解題途徑，并將分式化為整式，使條件與結論統一化.

另外：還需將結論等價地變為（ab+bc+cd+da）（ab+cd-da-bc）=0，即a2b2+c2d2-b2c2-d2a2=0，使目標更明確，將已知條件去括號得：a2b21c2d2-b2c21a2b2+c2d21a2b2-d2a21b2c2=0.

去分母得：a4b4-b4c4+c4d4-d4a4=0.

即（a4-c4）（b4-d4）=0.

由此得a2=c2或b2=d2.

不論a2=c2還是b2=d2時，a2b2+c2d2-b2c2-d2a2=0.

所以（ab+bc+cd+da）（ab+cd-da-bc）=0.

為什么人們會關注黃金分割呢？那是因為人們認為這個分割點是分割線段時最優美、最令人賞心悅目的點，同時這個比（即0.618）被視為人類美的密碼，它表現出的協調美，是和諧統一美的典范，備受人們關注.正五邊形的任意一邊和對角線的比為黃金分割比.在正十邊形、正十二面體和正二十面體中，都可以找到黃金分割比.在純數學家的眼里，將復雜的對象納入同一的元素系統，使之得以統一，是他們研究時的一個方向，因為統一性與簡單性、對稱性是相互聯系的.英國數學家、1966年菲爾茲獲得者阿蒂亞說：“數學中的簡潔性和統一性都是極為重要的.”從一定意義上說，簡單性和對稱性都可以歸結為統一性.

從上面論述可以看出：統一不僅是數學美的重要特征，同時它也是數學本質的一種反映.