例談數(shù)學(xué)章節(jié)小結(jié)與復(fù)習(xí)

當(dāng)一章學(xué)習(xí)結(jié)束后高質(zhì)量的歸納小結(jié)可以幫助學(xué)生理清知識(shí)（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本的數(shù)學(xué)思想和方法）脈絡(luò)，構(gòu)建知識(shí)框架，掌握解題技巧，可以使學(xué)生對(duì)這一章所學(xué)內(nèi)容整體把握、融會(huì)貫通.小結(jié)復(fù)習(xí)課切忌拖沓冗長(zhǎng)的知識(shí)點(diǎn)重復(fù)，也忌諱高難度綜合性的例題講解，而是要引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)潔明了、提綱挈領(lǐng)地構(gòu)建知識(shí)與技能、思想與方法的知識(shí)框架，通過(guò)典型的數(shù)學(xué)模型（也可以是具有代表性的例題）對(duì)知識(shí)加以鞏固.高質(zhì)量的復(fù)習(xí)課可以提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和記憶，可以起到事半功倍的效果.下邊是我對(duì)數(shù)學(xué)必修2第三章“點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系”的歸納小結(jié)，談出來(lái)和大家共同探討.

這一章的教學(xué)內(nèi)容涉及平面的基本性質(zhì)，空間的點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系，直線(xiàn)、平面平行和垂直的判定與性質(zhì)，三類(lèi)空間角的概念以及空間幾何體表面積和體積的計(jì)算等.它承載著學(xué)生三大能力（空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算論證能力）的訓(xùn)練以及重要數(shù)學(xué)思想和方法（轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、觀察、類(lèi)比、歸納、合情推理等等）的滲透.內(nèi)容多而且對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力要求較高，大多數(shù)學(xué)生在這一章的學(xué)習(xí)中都遇到困難，甚至產(chǎn)生恐懼心理.針對(duì)這些情況，我把這一章的知識(shí)用五句話(huà)提煉概括：一個(gè)思想，兩條主線(xiàn)，三個(gè)角，四個(gè)公理，五個(gè)模型，在復(fù)習(xí)過(guò)程中收到了不錯(cuò)的復(fù)習(xí)效果.對(duì)這五句話(huà)的理解如下：

一個(gè)思想：即轉(zhuǎn)化的思想，也就是空間問(wèn)題平面化的思想.它貫穿于立體幾何的始終.比如異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角的平面角、空間的距離以及等積轉(zhuǎn)化等都滲透著空間問(wèn)題平面化的數(shù)學(xué)思想；同時(shí)直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系的判定與性質(zhì)也滲透著轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.一方面在具體的教學(xué)過(guò)程中要有意識(shí)的進(jìn)行滲透，同時(shí)在小結(jié)復(fù)習(xí)時(shí)專(zhuān)門(mén)強(qiáng)化這一數(shù)學(xué)思想是很有必要的，經(jīng)過(guò)不斷的強(qiáng)化訓(xùn)練要讓學(xué)生潛意識(shí)里有這一重要的數(shù)學(xué)思想，只有這樣，學(xué)生才能在解決具體問(wèn)題時(shí)有意識(shí)地應(yīng)用這一數(shù)學(xué)思想.

這兩條主線(xiàn)是這一章的核心內(nèi)容.我們利用直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系研究直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，利用直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系研究平面與平面的位置關(guān)系，也就是所說(shuō)的判定定理；反過(guò)來(lái)，由平面與平面的位置關(guān)系可以進(jìn)一步掌握直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，也就是所說(shuō)的性質(zhì).而“平行”與“垂直”是直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面位置關(guān)系中最重要的兩種位置關(guān)系.兩條主線(xiàn)就是集中、簡(jiǎn)練地反映空間平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化以及垂直與平行之間的相互轉(zhuǎn)化（垂直可以得平行，平行可以得垂直）.不但教學(xué)時(shí)要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生建立這兩條主線(xiàn)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，而且在小結(jié)時(shí)要花大力氣引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建這兩條主線(xiàn)之間的關(guān)系框圖，使學(xué)生在轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下對(duì)這兩條主線(xiàn)所涉及的內(nèi)容融會(huì)貫通，提高他們的歸納整理能力和邏輯推理能力，從而達(dá)到在解決問(wèn)題時(shí)能夠信手拈來(lái)、收放自如的效果.

三個(gè)角：即異面直線(xiàn)所成的角（線(xiàn)線(xiàn)角）、直線(xiàn)與平面所成的角（線(xiàn)面角）、平面與平面所成的角（二面角）.這三個(gè)角既反映空間的數(shù)量關(guān)系，又反映著空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面及面面位置關(guān)系，最重要的是集中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)思想，是高考必考的重要內(nèi)容.所以在小結(jié)中把三個(gè)空間角歸類(lèi)總結(jié)既是對(duì)“一個(gè)思想”和“兩條主線(xiàn)”很好的應(yīng)用，又是學(xué)生空間想象力的很好訓(xùn)練.學(xué)生只有把這三個(gè)空間角的概念搞清楚才能建立完整的空間概念.

四個(gè)公理：即平面的三個(gè)公理（公理1、2、3）和平行公理（公理4），公理1是判定直線(xiàn)是否在平面內(nèi)的依據(jù)，公理2是提供了確定平面最基本的依據(jù)，公理3是判定兩個(gè)平面交線(xiàn)位置的依據(jù)，公理4是判斷空間直線(xiàn)之間平行關(guān)系的依據(jù).它們是立體幾何公理體系的基石，是研究空間圖形、進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)，而且是數(shù)學(xué)教學(xué)中三種語(yǔ)言（自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）很好的載體，是訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理能力很好的素材，所以在小結(jié)時(shí)歸納總結(jié)是很有必要的.

五個(gè)模型：由于立體幾何對(duì)學(xué)生的空間想象力要求較高，所以教給學(xué)生幾個(gè)典型的幾何模型對(duì)他們的學(xué)習(xí)和解題很有幫助.所以我在這一章的復(fù)習(xí)中給學(xué)生歸納出了五個(gè)典型的模型.它們是正（長(zhǎng)）方體模型、正四面體模型、線(xiàn)面角模型、二面角平面角模型以及探究面面垂直模型.

正（長(zhǎng)）方體模型：

這是立體幾何中應(yīng)用最廣的一個(gè)幾何模型.它幾乎包括了空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的所有位置關(guān)系.有這么一種說(shuō)法：只要“玩轉(zhuǎn)”正方體，立體幾何就不怕.也就是說(shuō)只要把正方體中的點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系搞清楚，那就可以解決立體幾何中的所有問(wèn)題.

正四面體模型：

這個(gè)模型的主要作用是讓學(xué)生體會(huì)空間問(wèn)題平面化的轉(zhuǎn)化思想和訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯推理能力，同時(shí)可以幫助學(xué)生記住一些涉及正四面體的結(jié)論，避免遇到問(wèn)題時(shí)再推導(dǎo)運(yùn)算的麻煩.比如求正四面體的體積時(shí)高AO的求解就要進(jìn)入四面體的內(nèi)部解△AOE或△AOC（空間問(wèn)題平面化），還需要求正三角形的高DE、中心O到C點(diǎn)和E點(diǎn)的距離、面積等（這些都是需要記住的結(jié)論），而求正四面體的外接球和內(nèi)切球的體積、表面積等都能用到這些結(jié)論.事實(shí)上求正四面體外接球和內(nèi)接球的半徑可以很好地訓(xùn)練學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.而且這個(gè)模型還是異面直線(xiàn)垂直（如BC與AD垂直的判定）和線(xiàn)面垂直、面面垂直（BC與面AED垂直、面AED與面BCD垂直等等）等內(nèi)容很好的載體.

線(xiàn)面角模型（三垂線(xiàn)定理）：

之所以把線(xiàn)面角歸結(jié)為一個(gè)幾何模型其原因有三：一是鞏固線(xiàn)面角的概念（∠PAO），便于學(xué)生在解題時(shí)能準(zhǔn)確地作出斜線(xiàn)和平面所成的角（平面的斜線(xiàn)PA和斜線(xiàn)在平面上射影AO所成的角）；二是這個(gè)模型其實(shí)就是“三垂線(xiàn)定理”模型（只需在平面上添一條直線(xiàn)a），它是平面的斜線(xiàn)與平面上一條直線(xiàn)垂直的判定與性質(zhì)內(nèi)容的載體；三是這個(gè)模型承載著線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面垂直的所有內(nèi)容：直線(xiàn)a垂直直線(xiàn)PA、直線(xiàn)AO及直線(xiàn)PO，直線(xiàn)a垂直于面PAO，直線(xiàn)PO垂直于平面β，平面PAO垂直于平面β等.

二面角平面角模型：

確定這個(gè)模型的原因，一是鞏固二面角的平面角的概念（∠ABO），二是它同樣承載著線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面垂直的內(nèi)容，而垂直關(guān)系恰恰是立體幾何的重中之重.需要特別說(shuō)明的一點(diǎn)是許多學(xué)生在二面角的問(wèn)題中往往容易忽略直線(xiàn)CD與平面ABO垂直這一重要性質(zhì)，而且這是高考特別鐘情的知識(shí)點(diǎn)：即要證AB與BO同時(shí)垂直于棱CD，只需有AO⊥面β即可.因?yàn)锳O⊥面β可得AO⊥CD，而此時(shí)再由AB⊥CD便可以得到CD⊥平面ABO，進(jìn)而便有CD⊥BO.這樣便有了二面角的平面角，所以這個(gè)模型對(duì)鞏固二面角的平面角的概念有著特別重要的作用.

探究面面垂直模型：

這是人教版數(shù)學(xué)必修2教材第69頁(yè)中的一道探究題：“如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直？為什么？”而且結(jié)合這道題的變式題也有很多.比如教材第69頁(yè)例3以及教材第74頁(yè)B組第4題等，而且許多高考題以它為“母題”改編.所以把它作為一個(gè)幾何模型，既有利于學(xué)生掌握面面垂直的內(nèi)容，更重要的是有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生回歸課本，真正地感受到高考題源于課本、變于課本，使他們能夠更好地立足課本，夯實(shí)基礎(chǔ).

復(fù)習(xí)這一章時(shí)當(dāng)我給學(xué)生說(shuō)這一章我只用五句話(huà)就可總結(jié)時(shí)，學(xué)生就有了聽(tīng)課的興趣，當(dāng)我把每一句話(huà)用充實(shí)的內(nèi)容構(gòu)建起一個(gè)知識(shí)體系時(shí)，學(xué)生由衷地給予我熱烈的掌聲.這節(jié)復(fù)習(xí)課的效果特別好，以至于我的學(xué)生只要提到立體幾何，他們就會(huì)下意識(shí)地說(shuō)出“一、二、三、四、五”來(lái).

總之，章節(jié)復(fù)習(xí)課教師只有抓住重點(diǎn)的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想與方法，構(gòu)建起知識(shí)的框架，梳理清知識(shí)脈絡(luò)，用簡(jiǎn)潔明了的語(yǔ)言總結(jié)歸納，用典型的數(shù)學(xué)模型作為知識(shí)載體把這一章的知識(shí)呈現(xiàn)給學(xué)生，才能使得章節(jié)復(fù)習(xí)真正起到提綱挈領(lǐng)、歸納總結(jié)、融會(huì)貫通的目的.